三角形、三角形相似及全等

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1、 三角形、三角形相似及全等 一、三角形的邊 例1：①3、4、x為三角形的三邊，求x的取值范圍。 ②3、4、x為直角三角形的三邊，求x的取值。 ③3、4、x為等腰三角形的三邊，求x的取值。 例2：a、b、c為三角形的三邊，它們存在如下關系：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，請問三角形為什么三角形？并說明理由。 課堂練習 1.以下列各組線段長為邊，能組成三角形的是（ ） A．1cm，2cm，4 cm B．8 cm，6cm，4cm C．12 cm，5 cm，6 cm D．2 cm，3 cm ，6 cm

2、 2.若線段AB=6，線段DC=2，線段AC= a，則（ ） A．a =8 B．a =4 C．a =4或8 D．4＜a<8 3.等腰三角形的兩邊長分別為5 cm和10 cm，則此三角形的周長是（ ） A．15cm B．20cm C．25 cm D．20 cm或25 cm 4．已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足a2c2－b2c2=a4－b4，則它的形狀為（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．若3，m，5為三角形三邊，化簡：

3、 二、三角形的角 例1：三角形的三個角的比值為1：2：3，求三角形三個角的度數(shù)及三角形的三邊比。 例2：△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有，則△ABC是（ ） A．直角（不等腰）三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰（不等邊）三角形 D．等邊三角形 三、三角形的線 （一）角平分線：過三角形的頂點引一條射線，把這個角分成二等分，這條線就叫做三角形的角平分線。角平分線上的點到三角形的兩邊相等。 例1：如圖，OE是∠AOB的平分線，CD∥OB交OA于C，交OE于D， ∠ACD=50o，則 ∠CDE的度數(shù)是

4、 課堂練習 A B C D E 1．已知：如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，且D為AC的中點，DE∥BC交AB于點E，若BC=4，則EB長為______. A C M B D 2．已知△ABC中，∠B=∠C，D為BA延長線上的點，AM是∠CAD的平分線，求證：AM∥BC. （二）中線、高、垂直平分線 （1）三角形的中線：連結三角形的一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線． （2）三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊（或其延長線）引垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高 （3）線段的垂直平分線：垂直并平分

5、這條線段的線叫做這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等。 例2：如圖，在△ABC中，∠B＝22.5，∠C＝60，AB的垂直平分線交BC于點D，BD＝，AE⊥BC于點E，求EC的長． 課堂練習 1．如圖1，在△ABC中，AC＝27，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，△ACE的周長為50，則BC= A D B E C 圖1

6、 圖2 圖3 2．如圖2，在中， ，是的垂直平分線，交于點，交于點．已知，則的度數(shù)為（ ） A． B． C． D． 3．如圖3，在RtΔABC中，∠ACB＝90BC＝3,AC＝4,AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為（ ） A． B． C． D．2 （三）中位線 例1：如右圖，在△ABC中，D．E兩點分別在BC．AC邊上．若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，則AB的長度是（ ） A．4

7、 B．5 C．6 D．7 四、三角形相似 （一）相似三角形的判定：①兩角對應相等的兩個三角形相似．②兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似．③三邊對應成比例的兩個三角形相似．④如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似． 注意：①直角三角形被斜邊上的高分成的兩個三角形和原三角形相似．②在運用三角形相似的性質和判定時，要找對對應角、對應邊，相等的角所對的邊是對應邊． 例1：如圖，在△ABC中，DE∥BC,求證: △ABC∽△ADE. 例2： 如

8、圖所示，在ΔABC中，AB=8cm，AC=10cm，點P從A點出發(fā)，沿AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒2cm的速度向A點運動，設運動時間為x。當x為何值時，以A、B為頂點的三角形與ΔAPQ相似？ （二）相似三角形的性質：①相似三角形的對應角相等，對應邊成比例．②相似三角 形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比．③相似三角 形周長的比等于相似比．④相似三角形面積的比等于相似比的平方． 例1：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D． （1）若AC=4，BC=3，則AD= ，BD=

9、，CD= ； （2）若AB∶BC=9∶1，則AD∶BD= ． 2．如圖，平行四邊形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若S△AEF=6，則S△CDF= ． 課堂練習 1.如圖1，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=2，EC=1，則AC= ． 圖1 圖2 圖3 2．如圖2，△ABC中，DE∥BD，AD∶DB=2∶3，則S△ADE∶S△ECB= ． 3．如圖3，平行四邊形ABCD中，BC=18cm，P、Q是

10、三等分點，DP延長線交BC于E，EQ延長線交AD于F，則AF=_______． 4.廚房角柜的臺面是三角形，如圖，如果把各邊中點的連線所圍成的三角形鋪成黑色大理石．（圖中陰影部分）其余部分鋪成白色大理石，那么黑色大理石的面積與白色大理石面積的比是（ ） A． B． C． D． 5．如圖，CD是Rt△ABC的斜邊上的高線，∠BAC的平分線交BC，CD于E，F(xiàn)． 求證：（1）△ACF∽△ABE； （2）ACAE= AFAB． 6．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連結AE，F(xiàn)

11、為AE上一點，且∠BFE=∠C． （1）求證：△ABF∽△EAD； （2）若AB=4，∠BAE=30，求AE的長； （3）在（1），（2）條件下，若AD=3，求BF的長． 7．如圖，在△ABC中，AB>AC，邊AB上取一點D，邊AC上取一點E，使AD=AE，直線DE和BC的延長線交于點P． 求證：BP∶CP=BD∶CE． 8． 如圖，BD、BE分別是∠ABC與它的鄰補角∠ABP的平分線，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D為垂足． （1）求證：四邊形AEBD是矩形； （2）若＝3，F(xiàn)、G分別為AE、AD上的點，F(xiàn)G交AB

12、于點H，且＝3，求證：△AHG是等腰三角形． 9．如圖所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發(fā)，沿AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設運動時間為x。（1）當x為何值時，PQ∥BC？（2）當，求的值；（3）ΔAPQ能否與ΔCQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由。 10．已知∠AOB=90，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題： (1) 將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點C，D. ①在圖甲中，證明：PC=PD；

13、②在圖乙中，點G是CD與OP的交點，且PG=PD，求△POD與△PDG的面積之比. （2）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，一直角邊與邊OB交于點D，OD=1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點C，E，使以P，D，E為頂點的三角形與△OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長. 五、全等三角形 （一）全等三角形的判定方法： （1）三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”． （2）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個二角形全等，簡寫成“角邊角”或"AS

14、A” （3）兩角和其中一角的對邊對應角相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”． （4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”． （5）有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜過直角邊定理”或“HL”． （二）全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等． （三）注意事項： （1）說明兩個三角形全等時，應注意緊扣判定的方法，找出相應的條件，同時要從實際圖形出發(fā)，弄清對應關系，把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上． （2）注意三個內角對應相等的兩個三角形不一定全等，另外已知兩個三角形的兩邊與一角對應相等的兩個三角形

15、也不一定全等． 例1：如圖，已知AB、CD相交于點O，AC∥BD，OC=OD，E、F為AB 上兩點，且AE=BF， 求證：（1）ΔAOC≌ΔBOD （2）CE＝DF． 例2：（2010四川宜賓）如圖，分別過點C．B作△ABC的BC邊上的中線AD及其延長線的垂線，垂足分別為E．F．求證：BF=CE． 例3：(2009南充)如圖，ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，于E，，交AG于F． 求證：． D C B A E F G 例4：已知：如圖，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC， AM平分∠DAB ．求證

16、： M B=MC 課堂練習 1.如圖１，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90，∠BAC=35，則∠BCD的度數(shù)為（） A．145 B．130 　　 C．110　　　　 D．70 　　圖１　　　　　　　　　　圖２　　　　　　　　　圖３ 2.兩個直角三角形全等的條件是（ ） A．一銳角對應相等 　　　 B．兩銳角對應相等 C．一條邊對應相等 　　　D．兩條邊對應相等 3.如圖，點D、E、F分別為△ABC三邊的中點，且 S△DEF=2，則△ABC的面積為（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 4.如圖，已知 AB=CD，AE⊥ BD于 E，CF⊥ BD于 F，AE=CF，則圖中全等三角形有（ ） A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 5.如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E、F分別是線段AB、DC、CA上的點， （1）若 AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結論； （2）若△DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結論． 10