三角形、三角形相似及全等

三角形、三角形相似及全等 一、三角形的邊 例1：①3、4、x為三角形的三邊，求x的取值范圍。 ②3、4、x為直角三角形的三邊，求x的取值。 ③3、4、x為等腰三角形的三邊，求x的取值。 例2：a、b、c為三角形的三邊，它們存在如下關(guān)系：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，請(qǐng)問(wèn)三角形為什么三角形？并說(shuō)明理由。 課堂練習(xí) 1.以下列各組線段長(zhǎng)為邊，能組成三角形的是（ ） A．1cm，2cm，4 cm B．8 cm，6cm，4cm C．12 cm，5 cm，6 cm D．2 cm，3 cm ，6 cm 2.若線段AB=6，線段DC=2，線段AC= a，則（ ） A．a(chǎn) =8 B．a(chǎn) =4 C．a(chǎn) =4或8 D．4＜a<8 3.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5 cm和10 cm，則此三角形的周長(zhǎng)是（ ） A．15cm B．20cm C．25 cm D．20 cm或25 cm 4．已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足a2c2－b2c2=a4－b4，則它的形狀為（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．若3，m，5為三角形三邊，化簡(jiǎn)： 二、三角形的角 例1：三角形的三個(gè)角的比值為1：2：3，求三角形三個(gè)角的度數(shù)及三角形的三邊比。 例2：△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有，則△ABC是（ ） A．直角（不等腰）三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰（不等邊）三角形 D．等邊三角形 三、三角形的線 （一）角平分線：過(guò)三角形的頂點(diǎn)引一條射線，把這個(gè)角分成二等分，這條線就叫做三角形的角平分線。角平分線上的點(diǎn)到三角形的兩邊相等。 例1：如圖，OE是∠AOB的平分線，CD∥OB交OA于C，交OE于D， ∠ACD=50o，則 ∠CDE的度數(shù)是 課堂練習(xí) A B C D E 1．已知：如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，且D為AC的中點(diǎn)，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，若BC=4，則EB長(zhǎng)為_(kāi)_____. A C M B D 2．已知△ABC中，∠B=∠C，D為BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AM是∠CAD的平分線，求證：AM∥BC. （二）中線、高、垂直平分線 （1）三角形的中線：連結(jié)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線． （2）三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊（或其延長(zhǎng)線）引垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高 （3）線段的垂直平分線：垂直并平分這條線段的線叫做這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 例2：如圖，在△ABC中，∠B＝22.5，∠C＝60，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，BD＝，AE⊥BC于點(diǎn)E，求EC的長(zhǎng)． 課堂練習(xí) 1．如圖1，在△ABC中，AC＝27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△ACE的周長(zhǎng)為50，則BC= A D B E C 圖1 圖2 圖3 2．如圖2，在中， ，是的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．已知，則的度數(shù)為（ ） A． B． C． D． 3．如圖3，在RtΔABC中，∠ACB＝90BC＝3,AC＝4,AB的垂直平分線DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D．2 （三）中位線 例1：如右圖，在△ABC中，D．E兩點(diǎn)分別在BC．AC邊上．若BD=CD，∠B=∠CDE，DE=2，則AB的長(zhǎng)度是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 四、三角形相似 （一）相似三角形的判定：①兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．②兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．③三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．④如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似． 注意：①直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形和原三角形相似．②在運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)和判定時(shí)，要找對(duì)對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊，相等的角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊． 例1：如圖，在△ABC中，DE∥BC,求證: △ABC∽△ADE. 例2： 如圖所示，在ΔABC中，AB=8cm，AC=10cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒2cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x。當(dāng)x為何值時(shí)，以A、B為頂點(diǎn)的三角形與ΔAPQ相似？ （二）相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．②相似三角 形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．③相似三角 形周長(zhǎng)的比等于相似比．④相似三角形面積的比等于相似比的平方． 例1：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D． （1）若AC=4，BC=3，則AD= ，BD= ，CD= ； （2）若AB∶BC=9∶1，則AD∶BD= ． 2．如圖，平行四邊形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若S△AEF=6，則S△CDF= ． 課堂練習(xí) 1.如圖1，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=2，EC=1，則AC= ． 圖1 圖2 圖3 2．如圖2，△ABC中，DE∥BD，AD∶DB=2∶3，則S△ADE∶S△ECB= ． 3．如圖3，平行四邊形ABCD中，BC=18cm，P、Q是三等分點(diǎn)，DP延長(zhǎng)線交BC于E，EQ延長(zhǎng)線交AD于F，則AF=_______． 4.廚房角柜的臺(tái)面是三角形，如圖，如果把各邊中點(diǎn)的連線所圍成的三角形鋪成黑色大理石．（圖中陰影部分）其余部分鋪成白色大理石，那么黑色大理石的面積與白色大理石面積的比是（ ） A． B． C． D． 5．如圖，CD是Rt△ABC的斜邊上的高線，∠BAC的平分線交BC，CD于E，F(xiàn)． 求證：（1）△ACF∽△ABE； （2）ACAE= AFAB． 6．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連結(jié)AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C． （1）求證：△ABF∽△EAD； （2）若AB=4，∠BAE=30，求AE的長(zhǎng)； （3）在（1），（2）條件下，若AD=3，求BF的長(zhǎng)． 7．如圖，在△ABC中，AB>AC，邊AB上取一點(diǎn)D，邊AC上取一點(diǎn)E，使AD=AE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P． 求證：BP∶CP=BD∶CE． 8． 如圖，BD、BE分別是∠ABC與它的鄰補(bǔ)角∠ABP的平分線，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D為垂足． （1）求證：四邊形AEBD是矩形； （2）若＝3，F(xiàn)、G分別為AE、AD上的點(diǎn)，F(xiàn)G交AB于點(diǎn)H，且＝3，求證：△AHG是等腰三角形． 9．如圖所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x。（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC？（2）當(dāng)，求的值；（3）ΔAPQ能否與ΔCQB相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。 10．已知∠AOB=90，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問(wèn)題： (1) 將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點(diǎn)C，D. ①在圖甲中，證明：PC=PD； ②在圖乙中，點(diǎn)G是CD與OP的交點(diǎn)，且PG=PD，求△POD與△PDG的面積之比. （2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，一直角邊與邊OB交于點(diǎn)D，OD=1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點(diǎn)C，E，使以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長(zhǎng). 五、全等三角形 （一）全等三角形的判定方法： （1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”． （2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)二角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或"ASA” （3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”． （4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”． （5）有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜過(guò)直角邊定理”或“HL”． （二）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等． （三）注意事項(xiàng)： （1）說(shuō)明兩個(gè)三角形全等時(shí)，應(yīng)注意緊扣判定的方法，找出相應(yīng)的條件，同時(shí)要從實(shí)際圖形出發(fā)，弄清對(duì)應(yīng)關(guān)系，把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上． （2）注意三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，另外已知兩個(gè)三角形的兩邊與一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也不一定全等． 例1：如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，OC=OD，E、F為AB 上兩點(diǎn)，且AE=BF， 求證：（1）ΔAOC≌ΔBOD （2）CE＝DF． 例2：（2010四川宜賓）如圖，分別過(guò)點(diǎn)C．B作△ABC的BC邊上的中線AD及其延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為E．F．求證：BF=CE． 例3：(2009南充)如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn)，于E，，交AG于F． 求證：． D C B A E F G 例4：已知：如圖，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC， AM平分∠DAB ．求證： M B=MC 課堂練習(xí) 1.如圖１，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90，∠BAC=35，則∠BCD的度數(shù)為（） A．145 B．130 　　 C．110　　　　 D．70 　　圖１　　　　　　　　　　圖２　　　　　　　　　圖３ 2.兩個(gè)直角三角形全等的條件是（ ） A．一銳角對(duì)應(yīng)相等 　　　 B．兩銳角對(duì)應(yīng)相等 C．一條邊對(duì)應(yīng)相等 　　　D．兩條邊對(duì)應(yīng)相等 3.如圖，點(diǎn)D、E、F分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，且 S△DEF=2，則△ABC的面積為（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 4.如圖，已知 AB=CD，AE⊥ BD于 E，CF⊥ BD于 F，AE=CF，則圖中全等三角形有（ ） A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì) 5.如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別是線段AB、DC、CA上的點(diǎn)， （1）若 AD=BE=CF，問(wèn)△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論； （2）若△DEF是等邊三角形，問(wèn)AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結(jié)論． 10