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1、
19.2 黃金分割
考試總分: 120 分 考試時間: 120 分鐘
學(xué)校:__________ 班級:__________ 姓名:__________ 考號:__________
一、選擇題(共 10 小題 ,每小題 3 分 ,共 30 分 )
1.如圖,已知點P是線段AB的黃金分割點,且PA>PB,若S1表示以PA為邊的正方形的面積,S2表示長為AB、寬為PB的矩形的面積,那么S1( )S2.
A.>
B.=
C.<
D.無法確定
2.如果點C為線段AB的黃金分割點,且AC>BC,則下列各式不正確的是( )
A.AB:AC=AC:BC
B.AC=5
2、-12AB
C.AB=5+12AC
D.BC≈0.618AB
3.根據(jù)有關(guān)測定,當(dāng)外界氣溫處于人體正常體溫的黃金比值時,人體感到最舒適(人體正常體溫約為37°C),這個氣溫大約為( )
A.23°C
B.28°C
C.30°C
D.37°C
4.矩形ABCD的周長為20,AB與BC的比為黃金比,AB的長度約為( )
A.3.82
B.6.18
C.3.82或6.18
D.16.18
5.已知線段AB的長為4cm,點P是線段AB的黃金分割點,則PA的長為( )
A.25-2
B.4-25或6-25
C.25-2或6-25
D.4-25
6.如圖
3、,點C是線段AB的黃金分割點(AC>BC),下列結(jié)論錯誤的是( )
A.ACAB=BCAC
B.BC2=AB?BC
C.ACAB=5-12
D.BCAC≈0.618
7.如圖,下列式子不能說明點C是線段AB(AC>BC)的黃金分割點的是( )
A.BCAC=5-12
B.AC+BC=5-12AB
C.ACAB=5-12
D.AC2=AB?BC
8.已知點C在線段AB上,且點C是線段AB的黃金分割點(AC>BC),則下列結(jié)論正確的是( )
A.AB2=AC?BC
B.BC2=AC?BC
C.AC=5-12BC
D.BC=3-52AB
9.如圖
4、,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC,則BC的長為( )
A.12
B.-1+52
C.1-52
D.-1+52
10.如圖,等腰△ABC中,腰AB=a,∠A=36°,∠ABC的平分線交AC于D,∠BCD的平分線交BD于E.設(shè)k=5-12,則DE=( )
A.k2a
B.k3a
C.ak2
D.ak3
二、填空題(共 10 小題 ,每小題 3 分 ,共 30 分 )
11.已知線段AB的長為2,點C是線段AB上一點,且AC2=BC?AB,則線段AC的長為________.
12.頂角是36°的等腰三角形稱為黃金三角形,如圖
5、,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD是△ABC的角平分線,那么AD=________.
13.已知線段MN長為10厘米,點P是MN的黃金分割點(PN
6、為線段AB的黃金分割點(AC>BC),已知AC=4,則AB=________.
18.如果C是AB的黃金分割點,AC>BC,那么ACAB≈________(精確到0.001).
19.如圖,△ABC頂角是36°的等腰三角形(底與腰的比為5-12的三角形是黃金三角形),若△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形,已知AB=4,則DE=________.
20.從美學(xué)角度來說,人的上身長與下身長之比為黃金比時,可以給人一種協(xié)調(diào)的美感.某女老師上身長約61.80cm,下身長約93.00cm,她要穿約________cm的高跟鞋才能達到黃金比的美感效果(精確到0.01cm)
7、.
三、解答題(共 6 小題 ,每小題 10 分 ,共 60 分 )
21.已知在邊長為2的正方形ABCD中,E為AD中點,連接BE,以E為圓心,EB為半徑畫弧交DA的延長線于F,再以AF為邊作正方形AFGH,判斷H是否為AB的黃金分割點,并說明理由.
22.若一個矩形的短邊與長邊的比值為5-12(黃金分割數(shù)),我們把這樣的矩形叫做黃金矩形.
(1)操作:請你在如圖所示的黃金矩形ABCD(AB>AD)中,以短邊AD為一邊作正方形AEFD;
(2)探究:在(1)中的四邊形EBCF是不是黃金矩形?若是,請予以證明;若不是,請說明理由.
23.如
8、圖,用紙折出黃金分割點:裁一張正方的紙片ABCD,先折出BC的中點E,再折出線段AE,然后通過折疊使EB落到線段EA上,折出點B的新位置B,因而EB=EB.類似地,在AB上折出點B″使AB″=AB.這時B″就是AB的黃金分割點.請你證明這個結(jié)論.
24.在△ABC中,AB=AC=2,BC=5-1,∠A=36°,BD平分∠ABC,交于AC于D.試說明點D是線段AC的黃金分割點.
25.已知線段AB,按照如下的方法作圖:以AB為邊作正方形ABCD,取AD的中點E,連接EB,延長DA到F,使EF=EB,以線段AF為邊,作正方形AFGH,那么點H是線段AB的黃金分割
9、點嗎?請說明理由.
26.如圖,已知AB=AC,BC=BD=DA.
(1)求∠A的度數(shù);
(2)求證:點D是AC的黃金分割點;
(3)求sinA2的值.
答案
1.B
2.D
3.A
4.A
5.C
6.B
7.B
8.D
9.B
10.B
11.5-1
12.5-12
13.(15-55)厘米
14.0.6185-12
15.(55-5)
16.15-55
17.25+2
18.0.618
19.6-25
20.7.00
21.解:如圖,∵AD=2,E為AD中點,
∴AE=1,
在Rt△AEB中,由勾股定理得BE
10、=AB2+AE2=5,
由于BE=EF,則AF=BE-AE=5-1,
∵AH=AF=5-1,
∴AH:AB=5-12,
∴H為AB的黃金分割點.
22.四邊形EBCF是黃金矩形.
證明:∵四邊形AEFD是正方形,
∴∠AEF=90°,
∴∠BEF=90°,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°
∴∠BEF=∠B=∠C=90°,
∴四邊形EBCF是矩形.
設(shè)CD=a,AD=b,則有ba=5-12,
∴CFEF=a-bb=ab-1=25-1-1=5-12,
∴矩形EBCF是黃金矩形.
23.證明:設(shè)正方形ABCD的邊長為2,
E為BC的中點,
∴B
11、E=1
∴AE=AB2+BE2=5,
又∵BE=BE=1,
∴AB=AE-BE=5-1,
∴AB″:AB=(5-1):2
∴點B″是線段AB的黃金分割點.
24.證明:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=12(180°-36°)=72°,
∵BD平分∠ABC,交于AC于D,
∴∠DBC=12∠ABC=1272°=36°,
∴∠A=∠DBC,
又∵∠C=∠C,
∴△BCD∽△ABC,
∴BCAB=CDBC
∵AB=AC,
∴BCAC=CDBC,
∵AB=AC=2,BC=5-1,
∴(5-1)2=2(2-AD),
解得AD=5-1,
AD:A
12、C=(5-1):2.
∴點D是線段AC的黃金分割點.
25.解:設(shè)正方形ABCD的邊長為2a,
在Rt△AEB中,依題意,得AE=a,AB=2a,
由勾股定理知EB=AB2+AE2=5a,
∴AH=AF=EF-AE=EB-AE=(5-1)a,
HB=AB-AH=(3-5)a;
∴AH2=(6-25)a2,
AB?HB=2a(3-5)a=(6-25)a2,
∴AH2=AB?HB,
所以點H是線段AB的黃金分割點.
26.解:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵BD=BC=AD,
∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC,
在△ABD中,∠BDC=∠A+∠ABD=2∠
13、A,
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴∠A+2∠A+2∠A=180°,
解得∠A=36°;(2)在等腰△ABC中,∵∠A=∠ABD=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°,
在△ACB和△BCD中,
∵∠C=∠C,∠A=∠CBD=36°,
∴△ACB∽△BCD,
∴AC:BC=BC:DC;
∵AD=BC,
∴AC:AD=AD:DC;
即點D是AC的黃金分割點;(3)設(shè)AB=AC=1.
由(2)知AC:AD=AD:DC,
∴AD=5-12,
∴BC=DA=5-12.
作AE⊥BC于E,
∵AB=AC,
∴BE=12BC=5-14,∠BAE=12∠A,
∴sinA2=BEAB=5-14.
我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式,改變粗放式增長模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu),實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進新型城鎮(zhèn)化,推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。