高考數學一輪復習 第二章 函數、導數及其應用 第3節(jié) 函數的奇偶性與周期性練習 新人教A版

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1、 第二章 第3 節(jié) 函數的奇偶性與周期性 1．(導學號14577113)(2018·長春市二模)下列函數中，既是奇函數又在(0，＋∞)單調遞增的函數是(　　) A．y＝ex＋e－x　　　　　　 B．y＝ln(|x|＋1) C．y＝ D．y＝x－ 解析：D　[選項A、B中的函數為偶函數；選項C中的函數雖然是奇函數，但是在(0，＋∞)上不是單調遞增函數．故選D.] 2．(導學號14577114)設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數 B．|f(x)|g(x)是奇函數

2、 C．f(x)|g(x)|是奇函數 D．|f(x)g(x)|是奇函數 解析：C　[因為f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)為奇函數，A錯； |f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)為偶函數，B錯； f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|為奇函數，C正確； |f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)為偶函數，所以D也錯．] 3．(導學號14577115)(2018

3、83;保定市一模)已知函數f(x)＝ 設g(x)＝，則g(x)是(　　) A．奇函數，在(－∞，0)上遞增，在(0，＋∞)上遞增 B．奇函數，在(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上遞減 C．偶函數，在(－∞，0)上遞增，在(0，＋∞)上遞增 D．偶函數，在(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上遞減 解析：B　[根據題意，g(x)＝＝其定義域關于原點對稱． 設x＞0，則－x＜0，g(－x)＝－＝－＝－g(x)；設x＜0，則－x＞0，g(－x)＝＝＝－g(x)，故g(x)為奇函數．又g(x)＝＝x－2在區(qū)間(0，＋∞)上遞減，則g(x)在(－∞，0)上也遞減．故選B.] 4．(導學號

4、14577116)(理科)(2018·青島市模擬)奇函數f(x)的定義域為R，若f(x＋1)為偶函數，且f(1)＝2，則f(4)＋f(5)的值為(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 解析：A　[∵f(x＋1)為偶函數，f(x)是奇函數， ∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0， ∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，則f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2， ∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2，故選A.] 4．(導學號145

5、77117)(文科)已知f(x)＝lg 是奇函數，則使f(x)<0的x的取值范圍是(　　) A．(－1,0) B．(0,1) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：A　[∵f(x)＝lg 是奇函數，∴f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg ＝0，解得a＝－1，即f(x)＝lg ，由f(x)＝lg <0，得0<<1，解得－1<x<0，故選A.] 5．(導學號14577118)(理科)(2017·揭陽市一模)已知函數f(x)是周期為2的奇函數，當x∈[0,1)時，f(x)＝lg(x＋1)，則f＋lg 18＝(　　) A．1

6、 B．2 C．5 D．10 解析：A　[∵當x∈[0,1)時，f(x)＝lg(x＋1)，f＝lg. 又∵函數f(x)是周期為2的奇函數， ∴f＝f＝－f＝－lg ， ∴f＋lg 18＝lg18－lg＝lg 10＝1.故選A.] 5．(導學號14577119)(文科)(2018·安慶市二模)定義在R上的奇函數f(x)滿足：f(x＋1)＝f(x－1)，且當－1＜x＜0時，f(x)＝2x－1，則f(log220)等于(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：D　[∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴函數f(x)為周期為2的周期函數， 又∵log232＞log220

7、＞log216，∴4＜log220＜5， ∴f(log220)＝f(log220－4)＝f(log2) ＝－f(－log2)． 又∵x∈(－1,0)時，f(x)＝2x－1，∴f＝－，f(log220)＝.故選D.] 6．(理科)(2015·高考新課標卷Ⅰ)若函數f(x)＝x ln(x＋)為偶函數，則a＝　________　. 解析：由題意知f(－x)＝f(x)，即－xln(－x＋)＝xln(x＋) 化簡得ln(a＋x2－x2)＝0，解得a＝1. 答案：1 6．(文科)若函數f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函數，則f(x)的遞增區(qū)間是　________　.

8、 解析：函數f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函數，所以m＝1，則函數f(x)＝－x2＋2，其單調遞增區(qū)間是(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 7．已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且f(x)－g(x)＝x，則f(1)，g(0)，g(－1)之間的大小關系是　________　. 解析：在f(x)－g(x)＝x中，用－x替換x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0

9、)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)． 答案：f(1)>g(0)>g(－1) 8．(2018·郴州市一模)已知定義在R上的偶函數滿足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且當x∈[0,2]時，y＝f(x)單調遞減，給出以下四個命題： ①f(2)＝0； ②x＝－4為函數y＝f(x)圖象的一條對稱軸； ③函數y＝f(x)在[8,10]單調遞增； ④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的兩根為x1，x2， 則x1＋x2＝－8. 上述命題中所有正確命題的序號為　___________　. 解析：∵f(x)是定義在R上的偶函數，∴f

10、(－x)＝f(x)，可得f(－2)＝f(2)． 在f(x＋4)＝f(x)＋f(2)中令x＝－2得f(2)＝f(－2)＋f(2)，∴f(－2)＝f(2)＝0， ∴f(x＋4)＝f(x)，∴函數f(x)是周期為4的周期函數．又當x∈[0,2]時，y＝f(x)單調遞減，結合函數的奇偶性畫出函數f(x)的簡圖，如圖所示．從圖中可以得出： ②x＝－4為函數y＝f(x)圖象的一條對稱軸；③函數y＝f(x)在[8,10]單調遞減； ④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－8. 答案：①②④ 9．已知函數f(x)＝是奇函數． (1)求實數m的值； (2)若

11、函數f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍． 解：(1)設x<0，則－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函數， 要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增． 結合f(x)的圖象知 所以1<a≤3，故實數a的取值范圍是(1,3]． 10．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且它的圖象關于直線x＝1對稱． (1)求證：f(x)是周期為4的

12、周期函數； (2)若f(x)＝ (0<x≤1)，求x∈[－5，－4]時，函數f(x)的解析式． 解：(1)證明：由函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱， 有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)． 又函數f(x)是定義在R上的奇函數， 故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)． 從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是周期為4的周期函數． (2)由函數f(x)是定義在R上的奇函數，有f(0)＝0. x∈[－1,0)時，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－. 故x∈[－1,0]時，f(x)＝－. x∈[－5，－

13、4]時，x＋4∈[－1,0]， f(x)＝f(x＋4)＝－. 從而，x∈[－5，－4]時，函數f(x)＝－. [能力提升組] 11．函數f(x)滿足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，則f(99)等于(　　) A．13　　 B．2 C.　　　 D. 解析：D　[∵f(x)·f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝， 則f(x)＝，故f(x)·f(x＋2)＝·＝13， 即f(x)f(x－2)＝13，∴f(x＋2)＝f(x－2)， 故函數f(x)的周期為4， ∴f(99)＝f(3)＝＝.] 12．(2018·濰坊市

14、一模)設函數y＝f(x)(x∈R)為偶函數，且?x∈R，滿足f＝f，當x∈[2,3]時，f(x)＝x，則當x∈[－2,0]時，f(x)＝(　　) A．|x＋4| B．|2－x| C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1| 解析：D　[∵?x∈R，滿足f＝f， ∴?x∈R，滿足f＝f， 即f(x)＝f(x＋2)． 若x∈[0,1]時，則x＋2∈[2,3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，x∈[0,1] . 若x∈[－1,0]，則－x∈[0,1] . ∵函數y＝f(x)(x∈R)為偶函數，∴f(－x)＝－x＋2＝f(x)，即f(x)＝－x＋2，x∈[－1,0] . 若x∈[－2，

15、－1]，則x＋2∈[0,1]， 則f(x)＝f(x＋2)＝x＋2＋2＝x＋4，x∈[－2，－1] . 即f(x)＝，故選D.] 13．若函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間[0，＋∞)上是單調增函數．如果實數t滿足f(ln t)＋f<2f(1)時，那么t的取值范圍是　________　. 解析：因為函數f(x)是偶函數， 所以f＝f(－ln t)＝f(ln t)＝f(|ln t|)． 則有f(ln t)＋f<2f(1)?2f(ln t)<2f(1) ?f(|ln t|)<f(1)?|ln t|<1?<t<e. 答案： 14．設f

16、(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積； (3)寫出(－∞，＋∞)內函數f(x)的單調區(qū)間． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數． ∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數與f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)

17、]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 從而可知函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱． 又當0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示． 設當－4≤x≤4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×＝4. (3)函數f(x)的單調遞增區(qū)間為[4k－1,4k＋1](k∈Z)， 單調遞減區(qū)間為[4k＋1,4k＋3](k∈Z)． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375