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高考數學精品復習資料
2019.5
第6講 圓錐曲線中的定點、定值問題
例7 已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為－1，離心率為e＝.
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(1,0)作直線l交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使·為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由．
審題破題 (1)利用待定系數法求E的方程；(2)探求定點可以先根據特殊情況找出點，再對一般情況進行證明．
解 (1)設橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，
2、由已知得解得
所以b2＝a2－c2＝1.所以橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)假設存在符合條件的點M(m,0)，
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.
①當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－1)，
由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，
即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2x1x2－(x1＋x2)＋1]
＝－，
所以·＝
3、－m·＋m2－
＝.
因為對于任意的k值，·為定值，
所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝.
所以M，此時，·＝－.
②當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1，
則x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－，
由m＝，得·＝－.
綜上，符合條件的點M存在，且坐標為.
構建答題模板
第一步：引進參數.從目標對應的關系式出發(fā)，引進相關參數.一般地，引進的參數是直線的夾角、直線的斜率或直線的截距等；
第二步：列出關系式.根據題設條件，表達出對應的動態(tài)直線或曲線方程；
第三步：探求直線過定點.若是動態(tài)的直線方程，將動態(tài)的直線
4、方程轉化成y－y0＝k(x－x0)的形式，則k∈R時直線恒過定點(x0，y0)；若是動態(tài)的曲線方程，將動態(tài)的曲線方程轉化成f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，則λ∈R時曲線恒過的定點即是f(x，y)＝0與g(x，y)＝0的交點；,第四步：下結論；
第五步：回顧反思.在解決圓錐曲線問題中的定點、定值問題時，引進參數的目的是以這個參數為中介，通過證明目標關系式與參數無關，達到解決問題的目的.
對點訓練7 已知拋物線y2＝4x的焦點為F，直線l過點M(4,0)．
(1)若點F到直線l的距離為，求直線l的斜率；
(2)設A，B為拋物線上的兩點，且直線AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線
5、恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標為定值．
(1)解 由已知得直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝k(x－4)，由題意知拋物線的焦點坐標為(1,0)，
因為點F到直線l的距離為，所以＝，
解得k＝±，所以直線l的斜率為±.
(2)證明 設線段AB中點的坐標為N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為直線AB不與x軸垂直，所以AB斜率存在，
所以直線MN的斜率為，直線AB的斜率為，
直線AB的方程為y－y0＝(x－x0)，
聯立方程得
消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝，
因為N為線段AB的中點，所以＝y(tǒng)0，
即＝y(tǒng)0，
所以x0＝2.即線段AB中點的橫坐標為定值2.
【大師特稿】高考數學答題模板：第6講圓錐曲線中的定點、定值問題含解析
