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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
一、填空題
1.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則:
①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”;
②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;
③“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;
④“t≠0,mt=xt?m=x”類比得到“p≠0,a·p=x·p?a=x”;
2、
⑤“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”;⑥“=”類比得到“=”.
以上的式子中,類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________.
解析:只有①②正確,其余錯(cuò)誤.
答案:2
2.請(qǐng)閱讀下列材料:
若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1,a2滿足a+a=1,那么a1+a2≤.
證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,從而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤.
根據(jù)上述證明方法,若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足a+a+…+a=1時(shí),你能得到的結(jié)論為_(kāi)
3、_______.(不必證明)
解析:設(shè)g(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,
∵g(x)≥0對(duì)x∈R恒成立,
∴Δ=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0,
∴a1+a2+…+an≤.
答案:a1+a2+…+an≤
3.如圖,第(1)個(gè)多邊形是由正三角形“擴(kuò)展”而來(lái),第(2)個(gè)多邊形是由正四邊形“擴(kuò)展”而來(lái),……如此類推.設(shè)由正n邊形“擴(kuò)展”而來(lái)的多邊形的邊數(shù)為an,則a6=________;+++…+=________.
解析:an=n(n+1),∴a6=6×7=42.
++…+=++…+
=-
4、+-+…+-=-=.
答案:42
4.對(duì)于等差數(shù)列{an},有如下命題:“若{an}是等差數(shù)列,a1=0,s、t是互不相等的正整數(shù),則有(s-1)at=(t-1)as”.類比此命題,給出等比數(shù)列{bn}相應(yīng)的一個(gè)正確命題:“________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.”
答案:若{bn}是等比數(shù)列,b1=1,s,t是互不相等的正整數(shù),則有b
5、=b
5.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為(n≥2),其余每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如
=+,=+,=+,…,則第7行第4個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為_(kāi)_______.
解析:由“第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知,第7行第1個(gè)數(shù)為,由“其余每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知,第7行第2個(gè)數(shù)為-=,同理易知,第7行第3個(gè)數(shù)為-=,第7行第4個(gè)數(shù)為-=.
答案:
6.觀察下列等式:
32+42=52,
102+112+122=132+142,
212+222+232+242=252+262+272,
362+
6、372+382+392+402=412+422+432+442,
……
由此得到第n(n∈N*)個(gè)等式為_(kāi)_______.
解析:由歸納推理直接寫出即可.
答案:(2n2+n)2+(2n2+n+1)2+…+(2n2+n+n)2=(2n2+2n+1)2+(2n2+2n+2)2+…+(2n2+2n+n)2
7.兩點(diǎn)等分單位圓時(shí),有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α+sin(π+α)=0;三點(diǎn)等分單位圓時(shí),有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α+sin(α+)+sin(α+)=0.由此可以推知:四點(diǎn)等分單位圓時(shí)的相應(yīng)正確關(guān)系為_(kāi)_______.
解析:類比推理可知,四點(diǎn)等分單位圓時(shí),α與α+π的終邊互為反向延
7、長(zhǎng)線,α+與α+的終邊互為反向延長(zhǎng)線,如圖.
答案:sin α+sin(α+)+sin(α+π)+sin(α+)=0
8.已知結(jié)論:“在正三角形ABC中,若D是邊BC的中點(diǎn),G是三角形ABC的重心,則=2”.若把該結(jié)論推廣到空間,則有結(jié)論:“在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中,若△BCD的中心為M,四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等”,則=________.
解析:由題知,O為正四面體的外接球、內(nèi)切球球心,設(shè)正四面體的高為h,由等體積法可求內(nèi)切球半徑為h,外接球半徑為h,所以=3.
答案:3
9.正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a,依次連結(jié)正方形ABCD各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的正方形,再
8、依次連結(jié)新正方形各邊中點(diǎn)又得到一個(gè)新的正方形,依此得到一系列的正方形,如圖所示.現(xiàn)有一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā),沿正方形的邊逆時(shí)針?lè)较蚺佬校坑龅叫抡叫蔚捻旤c(diǎn)時(shí),沿這個(gè)正方形的邊逆時(shí)針?lè)较蚺佬校绱讼氯?,爬行?0條線段.則這10條線段的長(zhǎng)度的平方和是________.
解析:由題可知,這只小蟲(chóng)爬行的第一段長(zhǎng)度的平方為a=(a)2=a2,第二段長(zhǎng)度的平方為a=(a)2=a2,…,從而可知,小蟲(chóng)爬行的線段長(zhǎng)度的平方可以構(gòu)成以a=a2為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為S10==a2.
答案:a2
二、解答題
10.通過(guò)觀察下列等式,猜想出一個(gè)一般性結(jié)論,并證明結(jié)論的真假.
sin
9、230°+sin290°+sin2150°=;
sin260°+sin2120°+sin2180°=;
sin245°+sin2105°+sin2165°=;
sin215°+sin275°+sin2135°=.
解析:猜想:sin2(α-)+sin2α+sin2(α+)=.
證明:∵左=(sin αcos-cos αsin)2+sin2α+(sin αcos+cos αsin)2
=(sin2α+cos2α)==右,∴待證式成立.
11.圓x2+y2=R2(R
10、>0)上任一點(diǎn)P(不在x軸上),與圓上兩點(diǎn)A(-R,0),B(R,0)的連線PA, PB的斜率kPA,kPB有下面的等式成立:kPAkPB=-1,類比這個(gè)命題,寫出橢圓+=1(a>b>0)中對(duì)應(yīng)的命題,并加以證明.
解析:命題:對(duì)橢圓+=1(a>b>0)上任一點(diǎn)P(不在x軸上),與橢圓上兩點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)的連線PA,PB的斜率kPA,kPB有下面的等式成立:kPAkPB=-.
證明:設(shè)P(x,y),則有+=1,kPA=,kPB=,∴kPAkPB==(1-)=-.
12.小朋用第二十九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃迎迎”擺出如圖(1)、(2)、(3)、
11、(4)這四個(gè)圖案,現(xiàn)按同樣的方式構(gòu)造圖形,設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)“福娃迎迎”.
(1)試寫出f(5)、f(6)的值;
(2)歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式,并求出f(n)的表達(dá)式;
(3)求證:+++…+<.
解析:(1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41,
f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61.
(2)因?yàn)閒(2)-f(1)=3+1=4,f(3)-f(2)=5+3=8,
f(4)-f(3)=7+5=12,…,歸納得f(n)-f(n-1)=4(n-1),則f(n+1)-f(n)=4n.
f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)
=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=2n2-2n+1.
(3)證明:當(dāng)k≥2時(shí),=<=(-).則+++…+<1+·[(1-)+(-)+…+(-)]=1+(1-)<1+=.