一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習(xí):第九章 第八節(jié) 拋物線 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、填空題 1.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是x-2=0,則a的值是________. 解析:拋物線方程可化為x2=y(tǒng), ∴準(zhǔn)線方程為x=-=2,得a=-. 答案:- 2.若拋物線y2=2px的焦點與橢圓+=1的右焦點重合,則p的值為________. 解析:橢圓的右焦點是(2,0),∴=2,p=4. 答案:4 3.若拋物線y2=2x上的一點M到坐標(biāo)原點O的距離為,則M到該拋物線焦點的距離為________. 解析:設(shè)點M的坐標(biāo)為,則 =,即t4+4t2-12=0,解得

2、t2=2或t2=-6(舍),故M(1,±).又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,故點M到準(zhǔn)線距離為,即M到其焦點距離為. 答案: 4.若拋物線y2=2px(p>0),過其焦點F傾斜角為60°的直線l交拋物線于A、B兩點,且|AB|=4.則此拋物線的方程為________. 解析:拋物線的焦點為F(,0),∴得直線l的方程為: y=(x-),將其與y2=2px(p>0)聯(lián)立消去y得: 3x2-5xp+p2=0,∴x1+x2=p, 又|AB|=x1+x2+p. ∴有+p=4,解得:p=. ∴拋物線方程為:y2=3x. 答案:y2=3x 5.如果直線l過定

3、點M(1,2),且與拋物線y=2x2有且僅有一個公共點,那么直線l的方程為________. 解析:點M在拋物線上,由題意知直線l與拋物線相切于點M(1,2),∴y′|x=1=4,∴直線l的方程為y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.當(dāng)l與拋物線相交時,l的方程為x=1. 答案:4x-y-2=0,x=1 6.已知過拋物線y2=6x焦點的弦長為12,則此弦所在直線的傾斜角是________. 解析:拋物線焦點是(,0), 設(shè)直線方程為y=k(x-), 代入拋物線方程,得k2x2-(3k2+6)x+k2=0, 設(shè)弦兩端點A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=,

4、∴|AB|=x1+x2+p=+3=12,解得k=±1, ∴直線的傾斜角為或. 答案:或 7.過拋物線x2=4y的焦點F作直線l,交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,若y1+y2=6,則|AB|等于________. 解析:結(jié)合拋物線的定義可知|AB|=(y1+)+(y2+)=y(tǒng)1+y2+p=6+2=8. 答案:8 8.已知圓x2+y2-6x-7=0與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線相切,則p=________. 解析:由題知,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=42, ∴圓心坐標(biāo)為(3,0),半徑r=4. ∴與圓相切且垂直于x軸的兩條切線是x=-

5、1,x=7. 而y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x=-, ∴由-=-1得p=2,由-=7得p=-14與題設(shè)矛盾(舍去).∴p=2. 答案:2 9.連結(jié)拋物線x2=4y的焦點F與點M (1,0)所得的線段與拋物線交于點A,設(shè)點O為坐標(biāo)原點,則△OAM的面積為________. 解析:線段FM所在直線方程x+y=1與拋物線交于A(x0,y0),則?y0=3-2或y0=3+2(舍去). ∴S△OAM=×1×(3-2)=-. 答案:- 二、解答題 10.根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)拋物線的焦點是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點; (2

6、)過點P(2,-4); (3)拋物線的焦點在x軸上,直線y=-3與拋物線交于點A,|AF|=5. 解析:(1)雙曲線方程化為-=1,左頂點為(-3,0),由題意設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0)且=-3, ∴p=6, ∴方程為y2=-12x. (2)由于P(2,-4)在第四象限且拋物線的對稱軸為坐標(biāo)軸,可設(shè)方程為y2=mx或x2=ny. 代入P點坐標(biāo)求得m=8,n=-1, ∴所求拋物線方程為y2=8x或x2=-y. (3)設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線方程為 y2=2px(p≠0),A(m,-3), 由拋物線定義得5=|AF|=|m+|. 又(-3)2=2pm,

7、∴p=±1或p=±9, 故所求拋物線方程為y2=±2x或y2=±18x. 11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C的頂點在原點,焦點F的坐標(biāo)為(1,0). (1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)M,N是拋物線C的準(zhǔn)線上的兩個動點,且它們的縱坐標(biāo)之積為-4,直線MO、NO與拋物線的交點分別為點A、B,求證:動直線AB恒過一個定點. 解析:(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),則=1,所以p=2, 所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x. (2)證明:證法一 拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-1, 設(shè)M(-1,y1),N(-1,y2),

8、其中y1y2=-4. 則直線MO的方程為:y=-y1x, 將y=-y1x與y2=4x聯(lián)立方程組, 解得A點坐標(biāo)為(,-), 同理可得B點坐標(biāo)為(,-), 則直線AB方程為:=, 整理得(y1+y2)y-4x+4=0, 由解得故動直線AB恒過一個定點(1,0). 證法二 拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)M(-1,y1),N(-1,y2),其中y1y2=-4. 取y1=2,則y2=-2,可得M(-1,2),N(-1,-2). 此時直線MO的方程為y=-2x,由 解得A(1,-2). 同理,可得B(1,2),則直線AB的方程為l1:x=1, 再取y1=1,則y2=-4,同理

9、可得A(4,-4),B(,1), 此時直線AB方程為l2:4x+3y-4=0,于是可得l1與l2的交點為(1,0).故動直線AB恒過一個定點(1,0). 12.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點. 求證:(1)x1x2為定值; (2)+為定值. 證明:(1)拋物線y2=2px的焦點為F(,0), 設(shè)直線AB的方程為y=k(x-)(k≠0). 由 消去y,得k2x2-p(k2+2)x+=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2=(定值). 當(dāng)AB⊥x軸時,x1=x2=,x1x2=也成立. (2)由拋物線的定義知, |FA|=x1+,|FB|=x2+. +=+ = == = (定值). 當(dāng)AB⊥x軸時,|FA|=|FB|=p,上式也成立.

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