一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習(xí):第九章 第六節(jié) 橢 圓 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、填空題 1.設(shè)P是橢圓+=1上的點(diǎn).若F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn),則|PF1|+|PF2|等于________. 解析:由題意知a=5,∴|PF1|+|PF2|=2a=10. 答案:10 2.已知橢圓C的短軸長為6,離心率為,則橢圓C的焦點(diǎn)F到長軸的一個端點(diǎn)的距離為________. 解析:由題意可知 且a>0,b>0,c>0, 解得a=5,b=3,c=4. ∴橢圓C的焦點(diǎn)F到長軸的一個端點(diǎn)的距離為a+c=9或a-c=5-4=1. 答案:1或9

2、3.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的________條件. 解析:把橢圓方程化成+=1.若m>n>0,則>>0.所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上.反之,若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,則>>0即有m>n>0.故為充要條件. 答案:充要 4.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長軸長等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________. 解析:由x2+y2-2x-15=0, 知r=4=2a?a=2. 又e==,c=1,則b2=a2-c2=3. 答案:+=1 5.若橢圓上存在點(diǎn)P

3、,使得點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)的距離之比為2∶1,則此橢圓離心率的取值范圍是________. 解析:設(shè)P到兩個焦點(diǎn)的距離分別為2k,k,根據(jù)橢圓定義可知:3k=2a,又結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知.橢圓上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之差的最大值為2c,即k≤2c,∴2a≤6c,即e≥. 答案:[,1) 6.已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上的任意一點(diǎn),則的取值范圍是________. 解析:顯然當(dāng)PF1=PF2時,=0.由橢圓定義得PF2=4-PF1,從而==.而2-2≤PF1≤2+2,所以≤≤,故≤2+2.綜上所述,∈[0,2+2]. 答案:[0,2+2] 7.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)

4、在y軸上,若其離心率為,焦距為8,則該橢圓的方程是________. 解析:由題意知,2 c=8,c=4, ∴e===, ∴a=8, 從而b2=a2-c2=48, ∴方程是+=1. 答案:+=1 8.已知P是橢圓+=1上的動點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn),則·的取值范圍為________________. 解析:解法一 (利用三角代換)設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)為P(x0,y0),所以(其中θ為參數(shù)),橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),所以=(-2-x0,-y0),=(2-x0,-y0).所以·=x+y-8=12cos2 θ+4sin2 θ-8=

5、8cos2 θ-4∈[-4,4]. 解法二 (轉(zhuǎn)換成二次函數(shù))設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)為P(x0,y0),橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0), 所以=(-2-x0,-y0), =(2-x0,-y0). 所以·=x+y-8,該式表示橢圓上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方與8的差.因?yàn)闄E圓上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值為短半軸b=2,距離最大值為長半軸a=2.所以x+y∈[4,12], 所以·=x+y-8∈[-4,4]. 答案:[-4,4] 9.以等腰直角△ABC的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn),并且經(jīng)過另一頂點(diǎn)的橢圓的離心率為________. 解析:當(dāng)以兩銳角頂點(diǎn)為焦點(diǎn)

6、時,因?yàn)槿切螢榈妊苯侨切危视衎=c,此時可求得離心率e====;同理,當(dāng)以一直角頂點(diǎn)和一銳角頂點(diǎn)為焦點(diǎn)時,設(shè)直角邊長為m,故有2c=m,2a=(1+)m,所以,離心率e====-1. 答案:或-1 二、解答題 10.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),一個焦點(diǎn)為F(-2,0),且長軸長與短軸長的比是2∶. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長軸上,點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn).當(dāng)||最小時,點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解析:(1)設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0). 由題意,得 解得a2=16,b2=12. 所以橢圓C的方程為+=1

7、. (2)設(shè)P(x,y)為橢圓上的動點(diǎn),由于橢圓方程為+=1,故-4≤x≤4. 因?yàn)椋?x-m,y), 所以||2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12·(1-)=x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2. 因?yàn)楫?dāng)||最小時,點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn), 即當(dāng)x=4時,||2取得最小值.而x∈[-4,4], 故有4m≥4,解得m≥1. 又點(diǎn)M在橢圓的長軸上,所以-4≤m≤4. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,4]. 11.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),一個長軸端點(diǎn)為(0,1),短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形.若直線l與y軸交于點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于

8、不同的兩點(diǎn)A、B,且=3. (1)求橢圓C的方程; (2)求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解析:(1)依題意a=1,b=c, ∴b2=, ∴所求橢圓C的方程為2x2+y2=1. (2)設(shè)直線l:y=kx+m,消去y得(k2+2)x2+2kmx+m2-1=0, Δ=4k2m2-4(k2+2)(m2-1) =-4(2m2-k2-2)>0, ∴2m2-k2-2<0, ∵=3,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=0, ∴x1=-3x2, 又∵x1+x2=-,x1x2=. ∴消去x1得, 消去x2得3k2m2=(k2+2)(1-m2), ∴k2=. ∴2m

9、2-2-<0?(m2-1)(4m2-1)<0, ∴m∈(-1,-)∪(,1). 12.已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為,點(diǎn)A,B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點(diǎn),點(diǎn)O到直線AB的距離為(如圖所示). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)已知點(diǎn)E(3,0),設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個動點(diǎn),滿足EP⊥EQ,求·的取值范圍. 解析:(1)由離心率e==,得==. ∴a=2b.① ∵原點(diǎn)O到直線AB的距離為, ∴=.② ①代入②,得b2=9.∴a2=36. 則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)∵EP⊥EQ,∴·=0. ∴·=·(-)=. 設(shè)P(x,y),則+=1,即y2=9-. ∴·==(x-3)2+y2=x2-6x+9+(9-)=(x-4)2+6. ∵-6≤x≤6,∴6≤(x-4)2+6≤81. 則·的取值范圍為[6,81].

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