【創(chuàng)新設(shè)計】高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考點突破 第一部分 專題七 第一講 函數(shù)與方程思想 理

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1、 專題七　數(shù)學(xué)思想方法第一講　函數(shù)與方程思想 一、選擇題 1．已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a－λb)，則實數(shù)λ等于 (　　) A．1或2 B．2或－ C．2 D．0 解析：λa＋b＝(3λ－6,2λ＋1)，a－λb＝(3＋6λ，2－λ)，若(λa＋b)⊥(a－λb)，則 (3λ－6)·(3＋6λ)＋(2λ＋1)(2－λ)＝0，解得λ＝2或λ＝－ 答案：B 2．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2.若對任意的x∈[t，t＋2]，不 等式f(x＋t)≥2f(x)

2、恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是 (　　) A．[，＋∞) B．[2，＋∞) C．(0,2] D．[－，－1]∪[，] 答案：A 3．f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0.對任意正數(shù)a、 b，若a<b，則必有 (　　) A．a(chǎn)f(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(

3、a) C．a(chǎn)f(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b) 解析：∵xf′(x)＋f(x)≤0，即[xf(x)]′≤0， ∴xf(x)是減函數(shù)．又∵a<b， ∴af(a)≥bf(b)． 又∵b>a>0，f(x)≥0， ∴bf(a)≥af(a)且bf(b)≥af(b)， ∴bf(a)≥af(a)≥bf(b)≥af(b)， ∴bf(a)≥af(b)． 答案：C 4．f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，f(2)＝0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－1,4)內(nèi)的 零點個數(shù)為

4、 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(0)＝0.由f(2)＝0，得f(－2)＝0. 又∵f(x)的周期為3，∴f(1)＝0，f(3)＝0. 又∵f＝f＝f＝－f， ∴f＝0.故選D. 答案：D 5．已知對于任意的a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值總大于0，則x的 取值范圍是 (　　

5、) A．1<x<3 B．x<1或x>3 C．1<x<2 D．x<2或x>3 解析：將f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函數(shù)，記為g(a)＝(x－2)a＋x2－ 4x＋4. 當(dāng)a∈[－1,1]時恒有g(shù)(a)>0，只需滿足條件 即， 解之得x<1或x>3. 答案：B 二、填空題 6．已知不等式(x＋y)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為 ________． 解析：只需求(x＋y)的最小

6、值大于等于9即可，又(x＋y)＝1＋a·＋＋ a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等號成立僅當(dāng)a·＝即可，所以()2＋2＋ 1≥9，即()2＋2－8≥0求得≥2或≤－4(舍)， 所以a≥4，即a的最小值為4. 答案：4 7．若關(guān)于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有實根，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：令f(x)＝(2－2－|x－2|)2，要使f(x)＝2＋a有實根，只需2＋a是f(x)的值域內(nèi)的 值． ∵f(x)的值域為[1,4) ∴1≤a＋2<4，∴－1≤a<2. 答案：[－1,2) 8．已知函數(shù)f(x)＝，a∈R，若方程f

7、2(x)－f(x)＝0共有7個實數(shù)根， 則a＝________. 解析：設(shè)y＝t2－t，t＝f(x)作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由t2－t＝0知t＝0，或t＝1， 當(dāng)t＝0時，方程有兩個實根；當(dāng)t＝1時，要使此時方程有5個不同實根，則a＝1. 答案：1 9．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝×n－3×n＋n(其中n∈N*)，且該數(shù)列中最大 的項為am，則m＝________. 解析：令x＝n，則0<x≤ 構(gòu)造f(x)＝x3－3x2＋x，x∈ ∴f′(x)＝8x2－6x＋1 令f′(x)＝0，故x1＝，x2＝. ∴f(x)在上為增函數(shù)， f(

8、x)在上為減函數(shù) ∴f(x)max＝f 即當(dāng)x＝時，f(x)最大， ∴n＝2時，a2最大． ∴m＝2. 答案：2 三、解答題 10．設(shè)P是橢圓＋y2＝1(a>1)短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個動點，求|PQ|的最 大值． 解：依題意可設(shè)P(0,1)，Q(x，y)，則 |PQ|＝. 又因為Q在橢圓上，所以x2＝a2(1－y2)． |PQ|2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2 ＝(1－a2)2－＋1＋a2， 因為|y|≤1，a>1，若a≥，則≤1， 當(dāng)y＝時，|PQ|取最大值； 若1<a<，則當(dāng)y＝－1時，

9、|PQ|取最大值2， 綜上，當(dāng)a≥時，|PQ|最大值為；當(dāng)1<a<時，|PQ|最大值為2. 11．已知f(x)是定義在正整數(shù)集N*上的函數(shù)，當(dāng)x為奇數(shù)時，f(x＋1)－f(x)＝1，當(dāng)x為 偶數(shù)時，f(x＋1)－f(x)＝3，且滿足f(1)＋f(2)＝5. (1)求證：{f(2n－1)}(n∈N*)是等差數(shù)列； (2)求f(x)的解析式． (1)證明：由題意得 ， 兩式相加得f(2n＋1)－f(2n－1)＝4. 因此f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)成等差數(shù)列． 即{f(2n－1)}(n∈N*)是等差數(shù)列． (2)解：由題意得，解得. 所以f(

10、2n－1)＝f(1)＋(n－1)×4＝2(2n－1)，因此當(dāng)x為奇數(shù)時，f(x)＝2x. 又因為當(dāng)x為奇數(shù)時，f(x＋1)－f(x)＝1，所以f(x＋1)＝2x＋1＝2(x＋1)－1， 故當(dāng)x為偶數(shù)時，f(x)＝2x－1. 綜上，f(x)＝. 12．某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2010年度進行一系列的促銷活 動．經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足： 3－x與t＋1成反比例．如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件．已知 2010年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投資32萬元， 當(dāng)年每件化妝品的零售

11、價定為“年平均成本的150%”與“年均每件所占促銷費的 一半”之和，則當(dāng)年的產(chǎn)銷量相等． (1)將2010年的年利潤y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù)； (2)該企業(yè)2010年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？(注：利潤＝收入 －生產(chǎn)成本－促銷費) 解：(1)由題意，得3－x＝， 將t＝0，x＝1代入，得k＝2. ∴x＝3－. 由題意，知每件零售價為＋·. 年利潤y＝x－(3＋32x)－t ＝16x－t＋＝16－t＋ ＝50－＝(t≥0)． (2)∵y＝50－≤50－2＝42(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即t＝7時，ymax＝42， ∴當(dāng)促銷費定為7萬元時，利潤最大． 5 用心 愛心 專心