《【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)突破 第一部分 專題七 第一講 函數(shù)與方程思想 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)突破 第一部分 專題七 第一講 函數(shù)與方程思想 理（5頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
專題七 數(shù)學(xué)思想方法第一講 函數(shù)與方程思想
一、選擇題
1．已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ等于 ( )
A．1或2 B．2或－ C．2 D．0
解析：λa＋b＝(3λ－6,2λ＋1)，a－λb＝(3＋6λ，2－λ)，若(λa＋b)⊥(a－λb)，則
(3λ－6)·(3＋6λ)＋(2λ＋1)(2－λ)＝0，解得λ＝2或λ＝－
答案：B
2．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2.若對(duì)任意的x∈[t，t＋2]，不
等式f(x＋t)≥2f(x)
2、恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ( )
A．[，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(0,2] D．[－，－1]∪[，]
答案：A
3．f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0.對(duì)任意正數(shù)a、
b，若a<b，則必有 ( )
A．a(chǎn)f(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(
3、a)
C．a(chǎn)f(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)
解析：∵xf′(x)＋f(x)≤0，即[xf(x)]′≤0，
∴xf(x)是減函數(shù)．又∵a<b，
∴af(a)≥bf(b)．
又∵b>a>0，f(x)≥0，
∴bf(a)≥af(a)且bf(b)≥af(b)，
∴bf(a)≥af(a)≥bf(b)≥af(b)，
∴bf(a)≥af(b)．
答案：C
4．f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，f(2)＝0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－1,4)內(nèi)的
零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
4、 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f(0)＝0.由f(2)＝0，得f(－2)＝0.
又∵f(x)的周期為3，∴f(1)＝0，f(3)＝0.
又∵f＝f＝f＝－f，
∴f＝0.故選D.
答案：D
5．已知對(duì)于任意的a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值總大于0，則x的
取值范圍是 (
5、)
A．1<x<3 B．x<1或x>3
C．1<x<2 D．x<2或x>3
解析：將f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函數(shù)，記為g(a)＝(x－2)a＋x2－
4x＋4.
當(dāng)a∈[－1,1]時(shí)恒有g(shù)(a)>0，只需滿足條件
即，
解之得x<1或x>3.
答案：B
二、填空題
6．已知不等式(x＋y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為
________．
解析：只需求(x＋y)的最小
6、值大于等于9即可，又(x＋y)＝1＋a·＋＋
a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等號(hào)成立僅當(dāng)a·＝即可，所以()2＋2＋
1≥9，即()2＋2－8≥0求得≥2或≤－4(舍)，
所以a≥4，即a的最小值為4.
答案：4
7．若關(guān)于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：令f(x)＝(2－2－|x－2|)2，要使f(x)＝2＋a有實(shí)根，只需2＋a是f(x)的值域內(nèi)的
值．
∵f(x)的值域?yàn)閇1,4)
∴1≤a＋2<4，∴－1≤a<2.
答案：[－1,2)
8．已知函數(shù)f(x)＝，a∈R，若方程f
7、2(x)－f(x)＝0共有7個(gè)實(shí)數(shù)根，
則a＝________.
解析：設(shè)y＝t2－t，t＝f(x)作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由t2－t＝0知t＝0，或t＝1，
當(dāng)t＝0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)t＝1時(shí)，要使此時(shí)方程有5個(gè)不同實(shí)根，則a＝1.
答案：1
9．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝×n－3×n＋n(其中n∈N*)，且該數(shù)列中最大
的項(xiàng)為am，則m＝________.
解析：令x＝n，則0<x≤
構(gòu)造f(x)＝x3－3x2＋x，x∈
∴f′(x)＝8x2－6x＋1
令f′(x)＝0，故x1＝，x2＝.
∴f(x)在上為增函數(shù)，
f(
8、x)在上為減函數(shù)
∴f(x)max＝f
即當(dāng)x＝時(shí)，f(x)最大，
∴n＝2時(shí)，a2最大．
∴m＝2.
答案：2
三、解答題
10．設(shè)P是橢圓＋y2＝1(a>1)短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最
大值．
解：依題意可設(shè)P(0,1)，Q(x，y)，則
|PQ|＝.
又因?yàn)镼在橢圓上，所以x2＝a2(1－y2)．
|PQ|2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2
＝(1－a2)2－＋1＋a2，
因?yàn)閨y|≤1，a>1，若a≥，則≤1，
當(dāng)y＝時(shí)，|PQ|取最大值；
若1<a<，則當(dāng)y＝－1時(shí)，
9、|PQ|取最大值2，
綜上，當(dāng)a≥時(shí)，|PQ|最大值為；當(dāng)1<a<時(shí)，|PQ|最大值為2.
11．已知f(x)是定義在正整數(shù)集N*上的函數(shù)，當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x＋1)－f(x)＝1，當(dāng)x為
偶數(shù)時(shí)，f(x＋1)－f(x)＝3，且滿足f(1)＋f(2)＝5.
(1)求證：{f(2n－1)}(n∈N*)是等差數(shù)列；
(2)求f(x)的解析式．
(1)證明：由題意得
，
兩式相加得f(2n＋1)－f(2n－1)＝4.
因此f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)成等差數(shù)列．
即{f(2n－1)}(n∈N*)是等差數(shù)列．
(2)解：由題意得，解得.
所以f(
10、2n－1)＝f(1)＋(n－1)×4＝2(2n－1)，因此當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x)＝2x.
又因?yàn)楫?dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x＋1)－f(x)＝1，所以f(x＋1)＝2x＋1＝2(x＋1)－1，
故當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，f(x)＝2x－1.
綜上，f(x)＝.
12．某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2010年度進(jìn)行一系列的促銷活
動(dòng)．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費(fèi)用t萬元之間滿足：
3－x與t＋1成反比例．如果不搞促銷活動(dòng)，化妝品的年銷量只能是1萬件．已知
2010年生產(chǎn)化妝品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投資32萬元，
當(dāng)年每件化妝品的零售
11、價(jià)定為“年平均成本的150%”與“年均每件所占促銷費(fèi)的
一半”之和，則當(dāng)年的產(chǎn)銷量相等．
(1)將2010年的年利潤(rùn)y萬元表示為促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)；
(2)該企業(yè)2010年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？(注：利潤(rùn)＝收入
－生產(chǎn)成本－促銷費(fèi))
解：(1)由題意，得3－x＝，
將t＝0，x＝1代入，得k＝2.
∴x＝3－.
由題意，知每件零售價(jià)為＋·.
年利潤(rùn)y＝x－(3＋32x)－t
＝16x－t＋＝16－t＋
＝50－＝(t≥0)．
(2)∵y＝50－≤50－2＝42(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即t＝7時(shí)，ymax＝42，
∴當(dāng)促銷費(fèi)定為7萬元時(shí)，利潤(rùn)最大．
5
用心 愛心 專心
【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)突破 第一部分 專題七 第一講 函數(shù)與方程思想 理
