無限風光在險峰—導數(shù)法的恒成立壓軸題

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1、無限風光在險峰 -導數(shù)法的恒成立壓軸題 導數(shù)是研究函數(shù)的強有力工具，并且導數(shù)知識綜合性 較強，眾多數(shù)學的思想方法貫穿于導數(shù)解答題解題過程的 始終，能很好地體現(xiàn)學生數(shù)學綜合能力， 因此導數(shù)作為壓 軸題成為高考的一個熱點和難點?？v觀近幾年高考導數(shù)壓 軸題，有一類問題是求參數(shù)在什么范圍內不等式恒成立問 題。學生解決這類問題困難較大、上手難、失分多，現(xiàn)將 這類問題解決方法進行歸納，可以從兩方面入手。 一、分離參數(shù)法 如果能夠將參數(shù)分離出來，建立起明確的參數(shù)和變量 x的關系構造函數(shù)，則可以利用求函數(shù)的最值法求解參數(shù) 范圍，即參數(shù)大于函數(shù)最大值或小于函數(shù)最小值。形如 a f x恒成立 a f

2、x maY即大于時大于函數(shù) max f (x)最大彳K, a f x恒成立 a f x min即小于 時小于函數(shù)f(x)最小值。分離參數(shù)方法的適用范圍：參 數(shù)易于分離且分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能求出最值。 例 1 已知 f(x) xlnx,g(x) x2 ax 3。對于 一切x (0, ), 2 f (x) g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值 范圍。 分析：將不等式2f (x) g(x)進行分離參數(shù)即 3 3 a 2ln x x 一，構造函數(shù) h(x) 2ln x x 一 x x (x 0)顯然借助導數(shù)函數(shù)最小值易求。 ? 一一 2 一 .一 3 斛：?1 2xln x

3、x ax 3,?? a 2ln x x - . x 、兒 3 (x 3)( x 1) 設 h(x) 2ln x x 一(x 0),貝Uh(x) 2 . x x ①當 x (0,1) ,h(x) 0,h(x)在(0,1)單調遞減; ②當 x (1, ),h(x) 0,h(x)在(1,)單調遞增. ，一切 x (0, ), 2 f (x) g(x)恒成立, a h(x)min 4 例2 (2013新課標I理科)已知函數(shù) f (x) x2 ax b, g(x) ex(cx d)若曲線 y f (x) 和曲線y g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切 線 y 4x

4、2. (i)求 a , b , c, d 的值； (n)若x —2時，f (x) kg(x),求k的取值范 圍. 分析：(n )將參數(shù)k分離，有三種情況： 2 2 x 4x 2 田 x 4x 2 記 ⑴ 2 x 1時,k 一； ,而一； 的 2ex(x 1) 2ex(x 1) 最小值可求； ⑵x 1時，k R符合題意； (3) x 1時，k x *4 2,而x x4X 2的最大值 2e (x 1) 2e (x 1) 可求。 解：(I)易得a 4, b (n)由(i)知 f (x) x2 2, c 2, d 2; 4x 2,g(x) 2ex(x 1), 由題意

5、知 x2 4x 2 kg2ex(x 1), g(x) 1時,k x2 4x 2 2ex(x 1) ，設 g(x) x2 4x 2 2ex(x 1) ? ? h(x)min h(1) 4 x(x 2)2 2ex(x 1)2 0,故g(x)在［2, 1)單調遞增, g(x) g( 2) e2 ,從而 k e2。 (ii) x 1時，1 0原不等式恒成立，從而 k R, (iii) x 1時，k 2 _ X2 4x 2 2ex(x 1) ，設 g(x) x2 4x 2 2ex(x 1)

6、 xex(x 2)2 g(x) 2x(X 2)2, x ( 1,0)時 g(x) 0, g(x) 2e (x 1) 在(1,0)單調遞增；x (0, 4g(x) 0, g(x)在 (0,)單調遞減，g(x) g(0) 1,從而k 1。 綜上所述，k的取值范圍［1,e2］。 二、分類討論法 有些試題在高中范圍內用分離參數(shù)的方法不能順利 解決，利用分離參數(shù)的方法不能解決這部分問題的原因是  (ii)若k

7、e2,則 F(x) 2e2(x 2)(ex e2)從而當 時F(x) 0,即F(x)在(2,)單調遞增。而 F( 2) 0,故當 x 2時 F(x) 0,即 f(x) kg(x) 恒成立。 (iii )若 k e2,則 2 2 2 F( 2) 2ke 2 2e (k e ) 0。從而當 x 2 時F(x) 0,即f(x) kg(x)不可能恒成立。 f(x) 的切 aln x b x 1 x 線方程為 f(x) In x k x 1 x 4x ln x單調性無法用常 無法求最值或求最值時出現(xiàn)了 0或一型的式子，而這就 0 是大學數(shù)學中的不定式問題，解決這

8、類問題的有效方法就 是洛必達法則。但利用洛必達法則在高考評分中往往帶有 爭議，因此需掌握分類討論的基本思想。 分類討論含參數(shù) 函數(shù)的單調性，首先確定參數(shù)的分界點， 然后驗證參數(shù)在 每一段內是否滿足題意， 從而得出參數(shù)的范圍。 往往在分 類討論的個別情況中，需要找一個與恒成立的不等式矛盾 的區(qū)間或一個矛盾的值來否定此時參數(shù)范圍不符合題意。 例2 (2013新課標I理科) 分析：(n)此問也可用分類討論方法求出參數(shù)的范 圍，構造函數(shù) F(x) kg(x) f(x)討論其單調性，由導 數(shù)兩根的大小及 x -2確定參數(shù)k的分界點為1和e2, 分三種情況討論，并驗證每段是否符合題意， 從而得出

9、參 數(shù)的范圍。 解：(I)略。 (n)由(I)知 f(x) x2 4x 2,g(x) 2ex(x 1) 設函數(shù) F (x) kg(x) f (x) 2kex(x 1) x2 4x 2 則 F(x) 2kex(x 2) 2x 4 2(x 2)(kex 1) 由題設可的F(0) 0 ,即k 1 令 F (x) 0 得 x1 lnk,x2 2 (i)若1 k e2,則 2 x, 0.從而當x (2,為)時 F (x) 0;當 x (x,，)時，F(xiàn) (x) 0。即 F(x)在 (2,x,)單調遞減，在(x1,)單調遞增。故F(x)在 ［2,)最小值為F(x,)。而 2 F(x1) 2x1

10、 2 為 4x1 2 x1 (x1 2) 0 故當x 2時F(x) 0,即f (x) kg(x)恒成立。  綜上，k的取值范圍是［1,e2］。 例3 (2011新課標理科)已知函數(shù) 曲線y f (x)在點(1,f (1))處 x 2y 3 0. (I)求a, b的值； (II)如果當x>0,且x 1時， 求k的取值范圍. 分析：(II)參數(shù)k易于分離，分離后轉化為 , 2xln x 2xln x k -2 1,令g(x) —2—— 1,其最值很難 x 1 x 1 求出，原因是其導函數(shù) 2(lnx 1)(x2 1) g (x) / 2 八2 (x 1) 規(guī)方

11、法判斷。因此需構造函數(shù)討論其單調性， 通過恰當變 形及二次型方程的判別式為零，確定參數(shù)的分界點為 0和 1,分三種情況討論。 解：(I)易求 a 1, b 1。 , 八 一、ln x 1 (n)由(i)知 f(x) 一，所以 x 1 x 2 一、，lnx k、 1 (k 1)(x2 1)、 f(x) ( ) 2 (2ln x ) x 1 x 1 x x 考慮函數(shù) h(x) 2ln x (k 1)(x一1 (x 0),則 x 2 _ (k 1)(x 1) 2x h (x) 2 。 x (i)設 k 0 ,由 h (x) k^一匕"1) 知,當 x x 1 時，

12、h(x) 0。而 h(1) 0,故 ， . -1 當 x (0,1)時，h(x) 0,可得——2 h(x) 0； 1 x — 1 當 x (1, + )時，h (x) <0,可得 2h(x)>0 1 x 從而當x>0,且x 1時，f (x) 士+k) x 1 x >0, 即 f (x) > In x x 1 (ii)設 00 ,故 h (x) >0,而 . 1 一 一一 h(1) 0 ,故當 x (1, )時，h (x) >0,可 1 k m 1 一 —

13、得 2~h (x) <0,與題設矛盾。 1 x2 (iii)設 k 1.此時 h (x) >0,而 h(1) 0,故當 x (1, , - 1 - + )時，h (x) >0,可得 2- h (x) <0,與題設矛 1 x 盾。 綜上所述，k的取值范圍為(-,0］。 本文給出了用導數(shù)求解恒成立問題的參數(shù)范圍的兩 種方法：分離參數(shù)的方法容易想到， 解題時需注意參數(shù)的 系數(shù)正負情況且分離后構造的函數(shù)最值可求； 分類討論法 的關鍵是確定參數(shù)的分界點，需考慮含參函數(shù)的定義域結 合含參函數(shù)零點的大小關系或二次型方程判別式為零來 確定參數(shù)的分界點，此方的難點是分類討論的個別情況， 需要找一個與恒成立的不等式矛盾的區(qū)間或值來否定此 時參數(shù)范圍不符合題意。高考壓軸題是區(qū)分考生數(shù)學能力 與數(shù)學思維強弱的“分水嶺”，希望通過上述方法分析， 能使學生對恒成立壓軸題的解答有更深悟的領會。 參考文獻： 1.高慧明.2004年全國高考數(shù)學壓軸題分類導析 (一)一 一以“數(shù)列”為主體［J］.中學數(shù)學雜志，2005 (1)