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第5章 數(shù)列
第4節(jié) 數(shù)列求和
考點(diǎn)一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
1．（2013江蘇，16分）設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列(d≠0)，Sn是其前n項(xiàng)的和．記bn＝，n∈N*，其中 c為實(shí)數(shù)．
(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；
(2)若{bn}是等差數(shù)列，證明：c＝0.
證明：本題考查等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，意在考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力與推理論證能力．
由題設(shè)，Sn＝na＋d.
(1)由c＝0，得bn＝＝a＋d.又b1，b2，
2、b4成等比數(shù)列，所以b＝b1b4，即2＝a，化簡(jiǎn)得d2－2ad＝0.因?yàn)閐≠0，所以d＝2a.
因此，對(duì)于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.
從而對(duì)于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的公差是d1，則bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表達(dá)式，整理得，對(duì)于所有的n∈N*，有
n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1)．
令A(yù)＝d1－d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1)，則對(duì)于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)
在(*)式中分別取n＝1,2,3,4，得
A＋B＋cd
3、1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1，
從而有
由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，從而cd1＝0.
即d1－d＝0，b1－d1－a＋d＝0，cd1＝0.
若d1＝0，則由d1－d＝0，得d＝0，與題設(shè)矛盾，所以d1≠0.
又cd1＝0，所以c＝0.
2．（2013浙江，14分）在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．
(1)求d，an；
(2) 若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列通項(xiàng)公式，求和公式等
4、基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力．
(1)由題意得5a3a1＝(2a2＋2)2，
即d2－3d－4＝0.
故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)閐<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.則
當(dāng)n≤11時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.
當(dāng)n≥12時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
綜上所述，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
3．（2013天津，14分）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S
5、n(n∈N*), 且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明Sn＋≤(n∈N*)．
解：本題主要考查等差數(shù)列的概念，等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查分類(lèi)討論的思想，考查運(yùn)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)椋?S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.又a1＝，所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n－1＝(－1)n－1.
(2)證明：Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
6、Sn＋隨n的增大而減小，所以Sn＋≤S1＋＝；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＋隨n的增大而減小，所以Sn＋≤S2＋＝.
故對(duì)于n∈N*，有Sn＋≤.
4. （2013陜西，12分）設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
(1)若{an}為等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式；
(2)若a1＝1，q≠0，且對(duì)所有正整數(shù)n，有Sn＝.判斷{an}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．
解：本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)所用的倒序相加法，考查等比數(shù)列的證明方法和一般數(shù)列切入點(diǎn)的技巧，深度考查考生應(yīng)用數(shù)列作工具進(jìn)行邏輯推理的思維方法．
(1)法一：設(shè){an}的公差為d，則
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋
7、(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，
又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，
∴2Sn＝n(a1＋an)，
∴Sn＝.
法二：設(shè){an}的公差為d，則
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，
又Sn＝an＋an－1＋…＋a1
＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，
∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n－1)d，
∴Sn＝na1＋d.
(2){an}是等比數(shù)列．證明如下：
∵Sn＝，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝＝
8、qn.
∵a1＝1，q≠0，∴當(dāng)n≥1時(shí)，有＝＝q，
因此，{an}是首項(xiàng)為1且公比為q的等比數(shù)列．
5．（2013重慶，13分）設(shè)數(shù)列{an} 滿足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；
(2)已知{bn}是等差數(shù)列，Tn為其前n項(xiàng)和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.
解：本題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯思維能力．
(1)由題設(shè)知{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
所以an＝3n－1，Sn＝＝(3n－1)．
(2)b1＝a2＝3，b3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13
9、，b3－b1＝10＝2d，所以數(shù)列{bn}的公差d＝5，
故T20＝203＋5＝1 010.
6．(2009寧夏、海南，5分)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4a1,2a2，a3成等差數(shù)列．若a1＝1，則S4＝( )
A．7 B．8
C．15 D．16
解析：∵4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，∴4a2＝4a1＋a3.
∵{an}是等比數(shù)列，∴4a1q＝4a1＋a1q2，a1＝1.
∴q2－4q＋4＝0，q＝2，∴S4＝＝15.
答案：C
7．（2011江蘇，5分）設(shè)1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4
10、，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________．
解析：設(shè)a2＝t，則1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}，故q的最小值是.
答案：
8．（2012山東，12分）已知等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為105，且a10＝2a5.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)對(duì)任意m∈N*，將數(shù)列{an}中不大于72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm.
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為T(mén)n.
由T5＝105，a10＝2a5，
得到
解得a1＝7，d＝7.
因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n
11、(n∈N*)．
(2)對(duì)m∈N*，若an＝7n≤72m，則n≤72m－1.
因此bm＝72m－1，
所以數(shù)列{bm}是首項(xiàng)為7公比為49的等比數(shù)列．
故Sm＝＝＝＝.
9．（2012浙江，14分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足an＝4log2bn＋3，n∈N*.
(1)求an，bn；
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)由Sn＝2n2＋n，得當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，易知當(dāng)n＝1時(shí)也滿足通式an＝4n－1，
所以an＝4n－1，n∈N*.
由4n－1＝an＝4
12、log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知anbn＝(4n－1)2n－1，n∈N*，
所以Tn＝3＋72＋1122＋…＋(4n－1)2n－1,2Tn＝32＋722＋…＋(4n－5)2n－1＋(4n－1)2n，
所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.
故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.
10．(2010天津，14分)在數(shù)列{an}中，a1＝0，且對(duì)任意k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差數(shù)列，其公差為2k.
(1)證明：a4，a5，a6成等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(
13、3)記Tn＝＋＋…＋，證明：＜2n－Tn≤2(n≥2)．
解：(1)證明：由題設(shè)可知，a2＝a1＋2＝2，a3＝a2＋2＝4，a4＝a3＋4＝8，a5＝a4＋4＝12，a6＝a5＋6＝18.
從而＝＝.所以a4，a5，a6成等比數(shù)列．
(2)由題設(shè)，可得a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N*.
所以a2k＋1－a1＝(a2k＋1－a2k－1)＋(a2k－1－a2k－3)＋…＋(a3－a1)＝4k＋4(k－1)＋…＋41＝2k(k＋1)，k∈N*.
由a1＝0，得a2k＋1＝2k(k＋1)，從而a2k＝a2k＋1－2k＝2k2.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝
或?qū)憺閍n＝＋，
14、n∈N*.
(3)證明：由(2)可知a2k＋1＝2k(k＋1)，a2k＝2k2.
以下分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2m(m∈N*)．
若m＝1，則2n－＝2.
若m≥2，則
＝＋＝
＋＝2m＋＋]＝2m＋2＋(－)]＝2m＋2(m－1)＋(1－)＝2n－－.
所以2n－＝＋，從而＜2n－Tn＜2，n＝4,6,8，…，
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2m＋1(m∈N*)
＝＋＝4m－－＋＝4m＋－＝2n－－，
所以2n－＝＋，從而＜2n－Tn＜2，n＝3,5,7，….
綜合①和②可知，對(duì)任意n≥2，n∈N*，有＜2n－Tn≤2.
11．(2010北京，13分)已
15、知{an}為等差數(shù)列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n項(xiàng)和公式．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因?yàn)閍3＝－6，a6＝0，
所以
解得a1＝－10，d＝2.
所以an＝－10＋(n－1)2＝2n－12.
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.
因?yàn)閎2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，即q＝3.
所以{bn}的前n項(xiàng)和公式為Sn＝＝4(1－3n)．
考點(diǎn)二 遞推數(shù)列及其應(yīng)用
1．（2013湖南，13分）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前
16、n項(xiàng)和，已知a1≠0,2an－a1＝S1Sn，n∈N*.
(1)求a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和．
解：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．
(1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a.
因?yàn)閍1≠0，所以a1＝1.
令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.
當(dāng)n≥2時(shí)，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1兩式相減得2an－2an－1＝an，
即an＝2an－1.
于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．因此，an＝2n－1.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
17、為an＝2n－1.
(2)由(1)知，nan＝n2n－1.
記數(shù)列{n2n－1}的前n項(xiàng)和為Bn，于是
Bn＝1＋22＋322＋…＋n2n－1，①
2Bn＝12＋222＋323＋…＋n2n.②
①－②得
－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n2n
＝2n－1－n2n.
從而B(niǎo)n＝1＋(n－1)2n.
2．（2013廣東，14分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列．
(1)證明：a2＝ ；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜.
解：本題主要考查通過(guò)“a
18、n與Sn法”將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列及裂項(xiàng)求和法，意在考查考生運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題的能力．
(1)證明：∵an＞0，令n＝1，有4S1＝a－4－1，即4a1＝a－4－1，∴a2＝.
(2)當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn＝a－4n－1,4Sn－1＝a－4(n－1)－1，兩式相減得4an＝a－a－4，有a＝(an＋2)2，即an＋1＝an＋2，
∴{an}從第2項(xiàng)起，是公差為2的等差數(shù)列，
∴a5＝a2＋32＝a2＋6，a14＝a2＋122＝a2＋24，
又a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，有a＝a2a14，
則(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3，
由(1)得a1＝1，又an＋
19、1＝an＋2(n≥2)．
∴{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
即an＝1＋(n－1)2＝2n－1.
(3)證明：由(2)得＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝
＝＜.
3．（2012新課標(biāo)全國(guó)，5分）數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為( )
A．3 690 B．3 660
C．1 845 D．1 830
解析：不妨令a1＝1，根據(jù)題意，得a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)構(gòu)成以a2＝2為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列．所以前60項(xiàng)和為
S60＝30
20、＋230＋4＝1 830.
答案：D
4．(2009福建，4分)五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：
①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；
②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍一次．
已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為_(kāi)_______．
解析：五位同學(xué)報(bào)數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列為1,1,2,3,5,8,13,21，…該數(shù)列被3除所得的余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為1,1,2,0,2,2,1,0，…所得新數(shù)列中每4個(gè)數(shù)出現(xiàn)一個(gè)0，而又有5名同學(xué)，因而甲同學(xué)報(bào)的數(shù)為3的倍數(shù)的間隔為2
21、0，所以甲同學(xué)報(bào)的數(shù)為3的倍數(shù)的數(shù)依次是第16,36,56,76,96，共5個(gè)數(shù)．
答案：5
5．(2011廣東，14分)設(shè)b＞0，數(shù)列{an}滿足a1＝b，an＝(n≥2)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,2an≤bn＋1＋1.
(1)由an＝聯(lián)想到取倒數(shù)得＝＋，令cn＝，有cn＝＋cn－1，當(dāng)b＝1時(shí)，{cn}為等差數(shù)列，當(dāng)b≠1時(shí)，設(shè)cn＋k＝(cn－1＋k)，展開(kāi)對(duì)比得k＝，構(gòu)造等比數(shù)列{cn＋}，求得cn后再求an；(2)當(dāng)b＝1時(shí)，易驗(yàn)證，當(dāng)b≠1時(shí)，先用分析法將2an≤bn＋1＋1轉(zhuǎn)化為≤bn＋1＋1，利用公式an－bn＝(a－b)(a
22、n－1＋an－2b＋…＋bn－1)，再轉(zhuǎn)化為2nbn≤(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)，然后將右邊乘開(kāi)，再利用基本不等式即可得證．
解：(1)∵a1＝b＞0，an＝，
∴＝＋，
令cn＝，則cn＝＋cn－1，
①當(dāng)b＝1時(shí)，cn＝1＋cn－1，且c1＝＝＝1
∴{cn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴cn＝1＋(n－1)1＝n，于是cn＝＝n，這時(shí)an＝1；
②當(dāng)b≠1時(shí)，cn＋＝(cn－1＋)，且c1＋＝＋＝，
{cn＋}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴cn＋＝()n－1，由＋＝得an＝，
∴an＝.
(2)證明：由(1)得，當(dāng)b＝1時(shí)，an＝1,2an≤bn＋1＋1?2≤2成立，
當(dāng)b≠1時(shí)，an＝，2an≤bn＋1＋1?≤bn＋1＋1，
而1－bn＝(1－b)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)，
又b＞0，
故只需證：2nbn≤(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)，(※)
而(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－2＋bn－1)＝(b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1)＋(bn－1＋bn－2＋…b＋1)＝(b2n＋1)＋(b2n－1＋b)＋…＋(bn＋1＋bn－1)≥2bn＋2bn＋…＋2bn＝2nbn，∴(※)式成立，原不等式成立．
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
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高三數(shù)學(xué)文一輪備考 第5章第4節(jié)數(shù)列求和
