湘教版高考數(shù)學(xué)文一輪題庫 第8章第5節(jié)橢圓

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1、▼▼▼2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料▼▼▼ 高考真題備選題庫 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓 考點(diǎn)一 橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程 1．（2013廣東，5分）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：本題主要考查橢圓的圖像、方程、性質(zhì)等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力．依題意，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝4，b2＝3. 答案：D 2．（2013山東，14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x

2、軸上，短軸長為2，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.設(shè)＝t，求實(shí)數(shù)t的值． 解：本題綜合考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，考查方程思想、分類討論思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力． (1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意知 解得a＝，b＝1， 因此橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)(ⅰ)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱時(shí)， 設(shè)直線AB的方程為x＝m，由題意得－<m<0或0<m<. 將x＝m代入橢圓方程＋y2

3、＝1， 得|y|＝ ， 所以S△AOB＝|m| ＝， 解得m2＝或m2＝.① 又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)， 因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)， 所以＝1.② 由①②得t2＝4或t2＝， 又t>0，所以t＝2或t＝. (ⅱ)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸不對稱時(shí)， 設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋h， 將其代入橢圓的方程＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由判別式Δ>0可得1＋2k2>h2， 此時(shí)x1＋x2＝－，x1x2＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝， 所以|AB|＝

4、＝2·· . 因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AB的距離d＝， 所以S△AOB＝·|AB|·d＝×2··＝· ·|h|. 又S△AOB＝， 所以· ·|h|＝.③ 令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0， 解得n＝4h2或n＝h2， 即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④ 又＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝， 因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)， 所以t22＋2＝1， 即＝1.⑤ 將④代入⑤得t2＝4或t2＝. 又t>0，所以t＝2或t＝.經(jīng)檢

5、驗(yàn)，符合題意． 綜合(ⅰ)(ⅱ)得t＝2或t＝. 3．（2011浙江，5分）已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)．若C1恰好將線段AB三等分，則(　　) A．a(chǎn)2＝　　　　　　　　　　　 B．a(chǎn)2＝13 C．b2＝ D．b2＝2 解析：對于直線與橢圓、圓的關(guān)系，如圖所示，設(shè)直線AB與橢圓C1的一個(gè)交點(diǎn)為C(靠近A的交點(diǎn))，則|OC|＝， 因tan∠COx＝2， ∴sin∠COx＝， cos∠COx＝， 則C的坐標(biāo)為(，)，代入橢圓方程得＋＝1，∴a2＝11b2.∵5＝a2－b2，∴

6、b2＝. 答案：C 4.(2012安徽，13分)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，∠F1AF2＝60°. (1)求橢圓C的離心率； (2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值． 解：(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c，所以e＝. (2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2， 直線AB的方程可為y＝－(x－c)． 將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B(c，－c)． 所以|AB|＝·|c－0|＝c. 由S△AF1B＝|AF1|·

7、;|AB|sin ∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5. 法二：設(shè)|AB|＝t. 因?yàn)閨AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得， t＝a. 由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知， a＝10，b＝5. 5．(2011陜西，12分)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為. (Ⅰ)求C的方程； (Ⅱ)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)． 解：(

8、Ⅰ)將(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4， 又e＝＝得＝， 即1－＝，∴a＝5， ∴C的方程為＋＝1. (Ⅱ)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)， 設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1， 即x2－3x－8＝0，解得 x1＝，x2＝， ∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)＝＝， ＝＝(x1＋x2－6)＝－， 即中點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)． 注：用韋達(dá)定理正確求得結(jié)果，同樣給分． 考點(diǎn)二 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 1．（2013新課標(biāo)全國Ⅱ，5分）設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)

9、2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　) A.　　　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：本題主要考查橢圓離心率的計(jì)算，涉及橢圓的定義、方程與幾何性質(zhì)等知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力． 法一：由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝＝＝＝＝. 法二：由PF2⊥F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，變形可得(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同

10、除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． 答案：D　 2．（2013遼寧，5分）已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：本題主要考查圓錐曲線的定義、離心率，解三角形等知識(shí)，意在考查考生對圓錐曲線的求解能力以及數(shù)據(jù)處理能力．由余弦定理得，|AF|＝6，所以2a＝6＋8＝14，又2c＝10，所以e＝＝. 答案：B 3．（2013四川，5分）從橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)

11、F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：本題主要考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，意在考查曲線和方程這一解析幾何的基本思想．由已知，點(diǎn)P(－c，y)在橢圓上，代入橢圓方程，得P.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，則b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，則＝，即該橢圓的離心率是. 答案：C 4．（2013福建，4分）橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該

12、橢圓的離心率等于________． 解析：本題主要考查橢圓的定義、圖像和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力．直線y＝(x＋c)過點(diǎn)F1(－c,0)，且傾斜角為60°，所以∠MF1F2＝60°，從而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以該橢圓的離心率e＝＝＝－1. 答案：－1 5．（2012新課標(biāo)全國，5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x＝上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為(　　) A.

13、 B. C. D. 解析：由題意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2(a－c)＝2c，所以3a＝4c，所以e＝. 答案：C 6．（2012江西，5分）橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D.－2 解析：依題意得 |F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，所以e＝＝. 答案：B 7．（2011新課標(biāo)全國，5分）橢圓＋＝1的離心率為

14、(　　) A. B. C. D. 解析：由＋＝1可得a2＝16，b2＝8，∴c2＝a2－b2＝8. ∴e2＝＝.∴e＝. 答案：D 8．（2010福建，5分）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 解析：由橢圓＋＝1，可得點(diǎn)F(－1,0)，點(diǎn)O(0,0)，設(shè)P(x，y)，－2≤x≤2，則·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，·取得最大值6. 答案：C 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品