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第7章 立體幾何
第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)
考點(diǎn) 垂直關(guān)系
1.（2012廣東，13分）如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DF＝AB，PH為△PAD中AD邊上的高．
(1)證明：PH⊥平面ABCD；
(2)若PH＝1，AD＝，F(xiàn)C＝1，求三棱錐E－BCF的體積；
(3)證明：EF⊥平面PAB.
解：(1)證明：因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD；因?yàn)镻H為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD，又平面PAD∩平面
2、ABCD＝AD，PH?平面PAD，所以PH⊥平面ABCD.
(2)因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以E點(diǎn)到平面ABCD的距離為PH＝，
S△BCF＝CFAD＝1＝.
所以三棱錐E－BCF的體積V＝＝.
(3)證明：如右圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MF、EM，取PA的中點(diǎn)N，連接NE、DN.
因?yàn)锳B∥CD，DF＝AB，所以NE綊AM綊DF，所以四邊形DNEF為平行四邊形，所以EF綊DN.
因?yàn)镻D＝AD，所以DN⊥PA，又因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以DN⊥AB，PA∩AB＝A，所以DN⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.
2.（2012福建，12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，A
3、B＝AD＝1，AA1＝2，M為棱DD1上的一點(diǎn)．
(1)求三棱錐A－MCC1的體積；
(2)當(dāng)A1M＋MC取得最小值時(shí)，求證：B1M⊥平面MAC.
解：(1)由長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1知，
AD⊥平面CDD1C1，
∴點(diǎn)A到平面CDD1C1的距離等于AD＝1，
又S△MCC1＝CC1CD＝21＝1，
∴VA－MCC1＝ADS△MCC1＝.
(2)證明：將側(cè)面CDD1C1繞DD1逆時(shí)針轉(zhuǎn)90展開(kāi)，與側(cè)面ADD1A1共面(如圖)，當(dāng)A1，M，C′共線時(shí)，A1M＋MC取得最小值．
由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M為DD1中點(diǎn)．
連接C1M，在△C1MC中，MC1＝，MC
4、＝，CC1＝2，
∴CC＝MC＋MC2，得∠CMC1＝90，即CM⊥MC1.
又由長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，
∴B1C1⊥CM.
又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M；
同理可證，B1M⊥AM，
又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.
3.(2011新課標(biāo)全國(guó)，12分)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)證明：PA⊥BD；
(2)設(shè)PD＝AD＝1，求棱錐D－PBC的高．
解：(1)證明：因?yàn)椤螪AB＝60，AB＝2AD，
由余弦定
5、理得BD＝AD.
從而B(niǎo)D2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.
(2)如圖，作DE⊥PB，垂足為E.
已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC.
由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.
則DE⊥平面PBC.
由PD＝AD＝1知BD＝，PB＝2.
由DEPB＝PDBD，得DE＝.
即棱錐D－PBC的高為.
4．(2010廣東，14分)如圖，是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，平面AEC外一點(diǎn)F滿足FC⊥平面BED，
6、FB＝a.
(1)證明：EB⊥FD；
(2)求點(diǎn)B到平面FED的距離．
解：(1)證明：∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，且AB＝BC，AC為直徑，
∴EB⊥AC.
∵FC⊥平面BED，且BE?平面BED.
∴FC⊥EB.
∵FC∩AC＝C，
∴EB⊥平面BDF，
∵FD?平面BDF，
∴EB⊥FD.
(2)∵FC⊥平面BED，且BD?平面BED，
∴FC⊥BD.
又∵BC＝DC，
∴FD＝FB＝a.
∴VE－FBD＝S△FBDEB＝2aa＝.
∵EB⊥平面BDF，且FB?平面BDF，∴EB⊥BF，
∴EF＝＝＝a.
∵EB⊥BD，
∴ED＝＝＝a.
∴S△FED＝a＝a2.
∴點(diǎn)B到平面FED的距離d＝＝a.
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