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回扣6 不等式
1．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷Δ的符號)；三解(解對應的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)．
解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大?。?
2．一元二次不等式的恒成立問題
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的條件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是
3．分式不
2、等式
＞0(<0)?f(x)g(x)＞0(<0)；
≥0(≤0)?
4．基本不等式
(1)≥(a，b∈(0，＋∞))，當且僅當a＝b時取等號．
(2)在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中“正”、“定”、“等”的條件．
5．線性規(guī)劃
(1)可行域的確定，“線定界，點定域”．
(2)線性目標函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得．
(3)線性目標函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，這時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個．
1．不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，不討論這個數(shù)的正負，從而出錯．
2．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋
3、c＞0時，易忽視系數(shù)a的討論導致漏解或錯解，要注意分a＞0，a<0進行討論．
3．應注意求解分式不等式時正確進行同解變形，不能把≤0直接轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)≤0，而忽視g(x)≠0.
4．容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導致錯解，如求函數(shù)f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函數(shù)y＝x＋(x<0)時應先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解．
5．解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標函數(shù)中y的系數(shù)的正負；注意最優(yōu)整數(shù)解．
6．求解線性規(guī)劃問題時，不能準確把握目標函數(shù)的幾何意義導致錯解，如是指已知區(qū)域內(nèi)的點(x，y)與點(－2，2)連線的斜率，而(x－1)2＋
4、(y－1)2是指已知區(qū)域內(nèi)的點(x，y)到點(1,1)的距離的平方等．
1．(2016全國Ⅰ)若a＞b＞1,0
5、＝xlnx(x＞1)，則f′(x)＝lnx＋1＞1＞0，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因此f(a)＞f(b)＞0?alna＞blnb＞0?<，又由0
6、－3)∪(0，＋∞)
答案 C
解析 由題意可知，2kx2＋kx－＜0恒成立，當k＝0時成立，當k≠0時需滿足
代入求得－3＜k＜0，所以實數(shù)k的取值范圍是(－3,0]．
3．已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為( )
A．4 B．16 C．9 D．3
答案 B
解析 依題意m≤(3a＋b)＝10＋＋，
10＋＋≥16，故m≤16，m的最大值為16.
4．已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，則2m＋4n的最小值為( )
A．2 B．2
C．4 D．8
答案 C
解析 因為向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)
7、，a⊥b，
所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2.
所以2m＋4n≥2＝2＝2＝4
，
所以2m＋4n的最小值為4，故選C.
5．不等式組的解集記為D，z＝，有下面四個命題：
p1：?(x，y)∈D，z≥1; p2：?(x0，y0)∈D，z≥1；
p3：?(x，y)∈D，z≤2; p4：?(x0，y0)∈D，z＜0.
其中為真命題是( )
A．p1，p2 B．p1，p3
C．p1，p4 D．p2，p3
答案 D
解析 作出可行域如圖所示，因為z＝的幾何意義是可行域內(nèi)的點與點A(－1，－1)連線的斜率，可知與C連線斜率最小，與B連線斜率最大，聯(lián)立方程可得C(2,
8、1)，B(1,3)，所以z的最小值為，最大值為2，所以選項p2，p3正確，故選D.
6．設f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝[f(a)＋f(b)]，則下列關系式中正確的是( )
A．q＝r＜p B．q＝r＞p
C．p＝r＜q D．p＝r＞q
答案 C
解析 ∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
故f＞f()，即q＞p.
又r＝[f(a)＋f(b)]＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.
故p＝r＜q.故選C.
7．已知x，y滿足條件則z＝的最大值為( )
A．－ B.
C．2 D
9、．3
答案 D
解析 作出可行域如圖所示．
因為z＝＝，經(jīng)過點(－3,1)的直線斜率最大的是直線x－y＋5＝0與直線x＋y＝0的交點與該點的連線，故zmax＝＝3，故選D.
8．若x，y滿足約束條件且目標函數(shù)z＝ax－y取得最大值的點有無數(shù)個，則z的最小值等于( )
A．－2 B．－
C．－ D.
答案 C
解析 由題意可知，因為z＝ax－y，所以y＝ax－z，故直線y＝ax－z的截距為－z，作出平面區(qū)域如圖陰影部分所示，故a＝－，故直線y＝－x－z，所以當直線y＝－x－z過點
(－1,1)時，目標函數(shù)的最小值zmin＝－(－1)－1＝－，故選C.
9．(2016
10、山東)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9 C．10 D．12
答案 C
解析 滿足條件
的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示，x2＋y2是可行域上的動點(x，y)到原點(0,0)距離的平方，顯然，當x＝3，y＝－1時，x2＋y2取得最大值，最大值為10.故選C.
10．若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，則a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵＝，而t＋在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞減，∴t＋≥2＋＝，＝≤(當且僅當t＝2時等號成立)，又＝＋＝22－，
∵≥，∴22－≥1(當且僅當t＝2時等號成立)，故a的取值范
11、圍是.
11．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若2x＋y≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________，當m取到最大值時，x＝__________ .
答案 (－∞，8] 2
解析 2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋4≥8，
由2x＋y≥m恒成立，得m≤8；當m取到最大值時滿足
∴x＝2.
12．二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為，則關于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集為________．
答案 {x|－3＜x＜－2}
解析 由已知，－＝，＝，且a＜0，則b＝－a，c＝a，故不等式cx2－bx＋a＞0可化為x2＋5x＋6＜0，解得－3＜x＜－2.
13．已知圓x2＋y2
12、－2x－4y＋3＝0關于直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)對稱，則＋的最小值為________．
答案 3
解析 由題意圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0關于直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)對稱，即圓心(1,2)在直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)上，即a＋2b＝3(a＞0，b＞0)，
所以＋＝＝＋＋≥＋＝3，當且僅當＝，即a＝b＝1時取等號．
14．要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是20元/m2，側(cè)面造價是10元/m2，則該容器的最低總造價是________元．
答案 160
解析 由題意知，體積V＝4 m3，高h＝1
13、m，
所以底面積S＝4 m2，設底面矩形的一條邊長是x m，則另一條邊長是 m，又設總造價是y元，則y＝204＋10≥80＋20＝160，當且僅當2x＝，即x＝2時取得等號．
15．解關于x的不等式≤x＋1.
解 原不等式可化為－(x＋1)≤0，
即≤0，
當a＝0時，有≤0，所以x＞1，
當a≠0時，
①當a＜0時，有≥0，且＜1，所以x≤或x＞1；
②當0＜a＜1時，有≤0，且＞1，所以1＜x≤；
③當a＝1時，有≤0，所以x∈?，
④當a＞1時，有≤0，且＜1，所以≤x＜1.
綜上，
當a＜0時，原不等式的解集為∪(1，＋∞)，
當a＝0時，原不等式的解集為(1
14、，＋∞)，
當0＜a＜1時，原不等式的解集為，
當a＝1時，原不等式的解集為?，
當a＞1時，原不等式的解集為.
16．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
(1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式；
(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，
15、單位：輛/小時)f(x)＝xv(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)
解 (1)由題意，當0≤x≤20時，v(x)＝60；當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b，顯然v(x)＝ax＋b在[20,200]上是減函數(shù)，由已知得
解得
故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)＝
(2)依題意并由(1)可得
f(x)＝當0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當x＝20時，其最大值為6020＝1 200；當20≤x≤200時，f(x)＝x(200－x)≤2＝，當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立，所以，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值.
綜上，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333，
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約3 333輛/小時．
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