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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△
課時提升作業(yè)(三十四)
一、選擇題
1.(2013臨川模擬)數(shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an,若b3=-2,b2=12,則a8= ( )
(A)0 (B)-109 (C)-78 (D)11
2.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an>0,an+12-an2=1(n∈N+),那么使an<5成立的n的最大值為 ( )
(A)4 (B)5 (C)24 (D)25
3.(2013蚌埠模擬)已知向量a=(an,2),b=(an+1,25),且a1=1,若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a∥
2、b,則Sn= ( )
(A)54[1-(15)n] (B)14[1-(15)n]
(C)14[1-(15)n-1] (D)54[1-(15)n-1]
4.(2013撫州模擬)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若(S8-S5)(S8-S4)<0,則
( )
(A)|a6|>|a7| (B)|a6|<|a7|
(C)|a6|=|a7| (D)a6=0
5.(2013石家莊模擬)《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個面包分給五個人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的17是較小的兩份之和,問最小一份為 ( )
3、
(A)53 (B)103
(C)56 (D)116
6.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差為d,若a11a10<-1,且它的前n項和Sn有最大值,則使得Sn<0的n的最小值為 ( )
(A)11 (B)19 (C)20 (D)21
7.(2013商洛模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+2bx過(1,2)點,若數(shù)列{1f(n)}的前n項和為Sn,則S2012的值為 ( )
(A)2 0122 011 (B)2 0102 011
(C)2 0132 012 (D)2 0122 013
8.(能力挑戰(zhàn)題)甲、乙兩間工廠的月產(chǎn)值在2012年元月份
4、時相同,甲以后每個月比前一個月增加相同的產(chǎn)值.乙以后每個月比前一個月增加產(chǎn)值的百分比相同.到2012年11月份發(fā)現(xiàn)兩間工廠的月產(chǎn)值又相同.比較甲、乙兩間工廠2012年6月份的月產(chǎn)值大小,則有 ( )
(A)甲的產(chǎn)值小于乙的產(chǎn)值
(B)甲的產(chǎn)值等于乙的產(chǎn)值
(C)甲的產(chǎn)值大于乙的產(chǎn)值
(D)不能確定
二、填空題
9.設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為an,則數(shù)列{ann+1}的前n項和Sn等于 .
10.從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升純酒精,然后填滿水,再倒出1升混合溶液后又用水填滿,以此繼續(xù)下去,則至少應(yīng)倒 次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w
5、積之比低于10%.
11.設(shè)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,則通項an= .
12.(能力挑戰(zhàn)題)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,a1=t,點(Sn,an+1)在直線y=2x+1上,n∈N+,若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則實數(shù)t= .
三、解答題
13.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S1,S3,S2成等差數(shù)列,
(1)求{an}的公比q.
(2)若a1-a3=3,求Sn.
14.(2012安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+sinx的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為{xn}.
(1)求數(shù)列{xn}的通項公式.
(2)設(shè){xn}的前n項和為Sn,
6、求sinSn.
15.(2013新余模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an+1=anan+1,數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
(1)求證:數(shù)列{1an}為等差數(shù)列.
(2)設(shè)Tn=S2n-Sn,求證:Tn+1>Tn.
答案解析
1.【解析】選B.數(shù)列{bn}的公差為-14,故b1=26,a8-a1=b1+b2+…+b7=726+762(-14)=-112,故a8=-109.
2.【解析】選C.由a1=1,an>0,an+12-an2=1(n∈N+)可得an2=n,即an=n,要使an<5,則n<25,故選C.
3.【解析】選A.由向量a∥b,得25
7、an=2an+1,
即an+1an=15,數(shù)列{an}是公比為15的等比數(shù)列,則
Sn=1-(15)n1-15=54[1-(15)n].
4.【解析】選A.由(S8-S5)(S8-S4)<0知
S8-S5>0且S8-S4<0或S8-S5<0且S8-S4>0,
當S8-S5>0且S8-S4<0時,
有a6+a7+a8>0,a5+a6+a7+a8<0,
∴a7>0,a6+a7<0,∴|a6|>|a7|.
當S8-S5<0且S8-S4>0時,
有a6+a7+a8<0,a5+a6+a7+a8>0,
∴a7<0,a6+a7>0,
∴|a6|>|a7|,故選A.
5.【解析】選A.
8、設(shè)五個人所分得的面包為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),則(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20.
由17(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=
7(2a-3d),∴24d=11a,∴d=556,
所以,最小的一份為a-2d=20-1106=53.
6.【思路點撥】解答本題首先要搞清條件“a11a10<-1”及“Sn有最大值”如何使用,從而列出關(guān)于a1,d的不等式組,求出a1d的取值范圍,進而求出使得Sn<0的n的最小值,或者根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解.
【解析】選C.方法一:由題意知d<0,a10>0,a
9、11<0,a10+a11<0,
由a1+9d>0,a1+10d<0,2a1+19d<0,d<0,得-1921-2a1d},
故使得Sn<0的n的最小值為20.
方法二:由題意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,
由a10>0知S19>0,由a11<0知S21<0,
由a10+a11<0知S20<0,故選C.
7.【解析】選D.由函數(shù)f(x)=x2+2bx過(1,2)點,
10、
得b=12,
∴1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+1,
S2012=1f(1)+1f(2)+…+1f(2 012)
=(1-12)+(12-13)+…+(12 012-12 013)=2 0122 013.
8.【解析】選C.設(shè)甲各個月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列{an},乙各個月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列{bn},則數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且a1=b1,a11=b11,故a6=a1+a112≥a1a11=b1b11=b62=b6,由于在等差數(shù)列{an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等號不能成立,故a6>b6,即6月份甲的產(chǎn)值大于乙的產(chǎn)值.
9.【解析】∵y=nx
11、n-1-(n+1)xn,∴y|x=2=n2n-1-(n+1)2n=-n2n-1-2n,
∴切線方程為y+2n=(-n2n-1-2n)(x-2),
令x=0得y=(n+1)2n,即an=(n+1)2n,
∴ann+1=2n,∴Sn=2n+1-2.
答案：2n+1-2
10.【解析】設(shè)開始純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為1,操作一次后純酒精體積與總?cè)芤后w積之比a1=12,設(shè)操作n次后,純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為an,則an+1=an12,
∴an=a1qn-1=(12)n,∴(12)n<110,得n≥4.
答案：4
【方法技巧】建模解數(shù)列問題
對于數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用問題
12、,首先分析題意,將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,找出相關(guān)量之間的關(guān)系,然后構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,明確是等差數(shù)列問題、等比數(shù)列問題,是求和還是求項,還是其他數(shù)學(xué)問題,最后通過建立的關(guān)系求出相關(guān)量.
11.【解析】∵a1=2,an+1=an+n+1,
∴an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1,
an-2=an-3+(n-3)+1,…,a3=a2+2+1,
a2=a1+1+1,a1=2=1+1,
將以上各式相加得:
an=[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+n+1
=(n-1)[(n-1)+1]2+n+1
=(n-1)n2+n+
13、1
=n(n+1)2+1.
答案：n(n+1)2+1
12.【思路點撥】得出關(guān)于an+1,Sn的式子,降低一個角標再得一個關(guān)于an,Sn-1的式子,兩個式子相減后得出an+1,an的關(guān)系,可得數(shù)列{an}中,a2,a3,a4,…為等比數(shù)列,只要a2a1等于上面數(shù)列的公比即可.
【解析】由題意得an+1=2Sn+1,
an=2Sn-1+1(n≥2),
兩式相減得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),
所以當n≥2時,{an}是等比數(shù)列,
要使n≥1時,{an}是等比數(shù)列,則只需
a2a1=2t+1t=3,從而t=1.
答案：1
13.【解析】(1)依題意有
14、
a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),
由于a1≠0,故2q2+q=0.
又q≠0,從而q=-12.
(2)由已知可得a1-a1(-12)2=3,
故a1=4,
從而Sn=4[1-(-12)n]1-(-12)=83[1-(-12)n].
14.【思路點撥】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù),xn的左側(cè)導(dǎo)函數(shù)小于0,xn的右側(cè)導(dǎo)函數(shù)大于0,求出極小值點.(2)由(1)求出{xn}的前n項和為Sn,再代入sinSn求解.
【解析】(1)f(x)=x2+sinx,令f(x)=12+cosx=0,得x=2kπ2π3(k∈Z),
f(x)>0?2kπ-2π3
15、,
f(x)<0?2kπ+2π3
16、-2,k∈N+.
15.【解析】(1)易知an≠0,由an-an+1=anan+1,
從而得1an+1-1an=1.
∵a1=1,
∴數(shù)列{1an}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.
(2)∵1an=n,
則an=1n,
∴Sn=1+12+13+…+1n.
所以Tn=S2n-Sn
=1+12+13+…+1n+1n+1+…+12n-(1+12+13+…+1n)
=1n+1+1n+2+…+12n.
∵Tn+1-Tn=1n+2+1n+3+…+12n+2-(1n+1+1n+2+…+12n)
=12n+1+12n+2-1n+1
=12n+1-12n+2=1(2n+1)(2n+2)>0,
∴Tn+1>Tn.
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