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1、§ 7.5 度量空間中的緊致性
本節(jié)重點(diǎn)：掌握度量空間中的緊致空間、可數(shù)緊致空間、序列緊致空間、列緊空間之間 的關(guān)系.
由于度量空間滿足第一可數(shù)性公理，同時(shí)也是 遼空間，所以上一節(jié)中的討論(參見(jiàn)表
7.2 )因此我們，一個(gè)度量空間是可數(shù)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)它是列緊空間，也當(dāng)且僅當(dāng)它是序 列緊致空間.但由于度量空間不一定就是 Lindeloff 空間，因此從定理7.4.2并不能斷定列
緊的度量空間是否一定就是緊致空間?本節(jié)研究這個(gè)問(wèn)題并給出肯定的回答.
定義7.5.1 設(shè)A是度量空間(X,p)中的一個(gè)非空子集.集合 A的直徑diam (A)定
義為
diam(A)=sup{
2、p (x,y)|x,y € A}若 A 是有界的
diam(A)= g 若 A是無(wú)界的
定義7.5.2 設(shè)(X, p)是一個(gè)度量空間，A是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋.實(shí)數(shù) 入> 0稱為開(kāi)覆 蓋A的一個(gè)Lebesgue數(shù)，如果對(duì)于 X中的任何一個(gè)子集 A,只要diam (A)v入，則A包 含于開(kāi)覆蓋A的某一個(gè)元素之中.
Lebesgue數(shù)不一定存在.例如考慮實(shí)數(shù)空間 R的開(kāi)覆蓋
{(- g,1)} U {(n - 1/n,n+1+1/n) |n € Z+}
則任何一個(gè)正實(shí)數(shù)都不是它的 Lebesgue數(shù).(請(qǐng)讀者自補(bǔ)證明.)
定理7.5.1[Lebesgue 數(shù)定理]序列緊致的度量空間的每
3、一個(gè)開(kāi)覆蓋有一個(gè) Lebesgue 數(shù).
證明 設(shè)X是一個(gè)序列緊致的度量空間， A是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋.假若開(kāi)覆蓋 A沒(méi)有
Lebesgue數(shù),則對(duì)于任何i € Z+,實(shí)數(shù)1/i不是A的Lebesgue數(shù)，所以X有一個(gè)子集E,使得 diam (E)v 1/i并且Ei不包含于 A的任何元素之中.
在每一個(gè)二之中任意選取一個(gè)點(diǎn) \,由于X是一個(gè)序列緊致空間，所以序列._ 有
一個(gè)收斂的子序列 二；：i -.由于A是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋，故存在 A€ A使得y€ A,
并且存在實(shí)數(shù)£> 0使得球形鄰域 B( y, £)_ A.由于；,所以存在整數(shù) M
使得k > M
4、+2/ £ ,則對(duì)于任何
欣前礙)
> 0使得當(dāng)i>M時(shí) 一.令k為任意一個(gè)整數(shù),
p （X, y）w p（x，二"| ）+ p （:一 y）v £
這證明
與J、的選取矛盾.
定理7.5.2 每一個(gè)序列緊致的度量空間都是緊致空間.
證明 設(shè)X是一個(gè)序列緊致的度量空間， A是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋?根據(jù)定理 7.5.1，X的
開(kāi)覆蓋A有一個(gè)Lebesgue數(shù)，設(shè)為入〉0.
令B=｛B（x,入/3）｝.它是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋.我們先來(lái)證明 B有一個(gè)有限子覆蓋.
假設(shè)B沒(méi)有有限子覆蓋.任意選取一點(diǎn) ■■: € X.對(duì)于i > 1，假定點(diǎn) 已經(jīng)
5、取
定，由于
Xj E Xj LJ! P—） V v …
不是x的覆蓋，選取 ■ ■ 5 ?按照歸納原則，序列■ . _ 已經(jīng)取定.易
X X、 Y Y pii
見(jiàn)對(duì)于任何i,j € Z+,i豐j，有p （二’5）>入/3 .序列- 沒(méi)有任何收斂的子序列.（因 為任何y € X的球形鄰域B（y,入/6）中最多只能包含這個(gè)序列中的一個(gè)點(diǎn).）這與 X是序列 緊致空間相矛盾.
現(xiàn)在設(shè)｛ 一 -｝是開(kāi)覆蓋B的一個(gè)有限子覆蓋.由于
其中每一個(gè)元素的直徑都小于 入，所以對(duì)于每一個(gè)i=1,2，…,n存在以二二使得
B（；入/3） 一二.于是｛?一二-一二.｝是A的一個(gè)子覆蓋.
因
6、此，根據(jù)定理7.5.2以及前一節(jié)中的討論可見(jiàn)：
定理7.5.3 設(shè)X是一個(gè)度量空間?則下列條件等價(jià)：
（1） X是一個(gè)緊致空間;
(2) X是一個(gè)列緊空間；
(3) X是一個(gè)序列緊致空間；
(4) X是一個(gè)可數(shù)緊致空間.
我們將定理7.5.3的結(jié)論列為圖表 7.3以示強(qiáng)調(diào).
瞎希¥1：
|緊致空間O冋數(shù)緊致空間0 厚列緊致空間O列緊空間
作業(yè)：
P205 1 .
本章總結(jié)：
(1) 重點(diǎn)是緊致性、緊致性與分離性的關(guān)系.
(2) 度量空間(特別是1?)中的緊致性性質(zhì)要掌握.
(3) 緊致性是否是連續(xù)映射所能保持的、可積的、可遺傳的？證明時(shí)牽涉到的閉集要 注意是哪個(gè)空間的閉集.
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