數(shù)字圖像處理第三版中文答案岡薩雷斯

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1、第二章 2.1（第二版是0.2和1.5*1.5的矩形，第三版是0.3和1.5圓形） 對應(yīng)點的視網(wǎng)膜圖像的直徑x可通過如下圖題2.1所示的相似三角形幾何關(guān)系得到，即 解得x=0.06d。根據(jù)2.1 節(jié)內(nèi)容，我們知道：如果把中央凹處想象為一個有337000 個成像單元的圓形傳感器陣列，它轉(zhuǎn)換成一個大小成像單元的陣列。假設(shè)成像單元之間的間距相等，這表明在總長為1.5 mm（直徑） 的一條線上有655個成像單元和654個成像單元間隔。則每個成像單元和成像單元間隔的大小為s=[(1.5 mm)/1309]=1.110-6 m。 如果在中央凹處的成像點的大小是小于一個可分辨的成像單元，在我們

2、可以認為改點對于眼睛來說不可見。換句話說， 眼睛不能檢測到以下直徑的點： ，即 2.2 當(dāng)我們在白天進入一家黑暗劇場時，在能看清并找到空座時要用一段時間適應(yīng)。2.1節(jié)描述的視覺過程在這種情況下起什么作用？ 亮度適應(yīng)。 2.3 雖然圖2.10中未顯示，但交流電的卻是電磁波譜的一部分。美國的商用交流電頻率是77HZ。問這一波譜分量的波長是多少？ 光速c=300000km/s ，頻率為77Hz。 因此λ=c/v=2.998 * 108(m/s)/77(1/s) = 3.894*106m = 3894 Km. 2.5 根據(jù)圖2.3得：設(shè)攝像機能看到物體的長度為x (mm

3、)，則有:500/x=35/14; 解得：x=200，所以相機的分辨率為：2048/200=10;所以能解析的線對為：10/2=5線對/mm. 2.7 假設(shè)中心在（x0,y0）的平坦區(qū)域被一個強度分布為： 的光源照射。為簡單起見，假設(shè)區(qū)域的反射是恒定的，并等于1.0，令K=255。如果圖像用k比特的強度分辨率進行數(shù)字化，并且眼睛可檢測相鄰像素間8種灰度的突變，那么k取什么值將導(dǎo)致可見的偽輪廓？ 解：題中的圖像是由： 一個截面圖像見圖（a）。如果圖像使用k比特的強度分辨率，然后我們有情況見圖（b），其中。因為眼睛可檢測4種灰度突變，因此，，K= 6。也就是說，小于64

4、的話，會出現(xiàn)可見的偽輪廓。 2.9 (a) 傳輸數(shù)據(jù)包(包括起始比特和終止比特)為：N=n+m=10bits。對于一幅20482048 大小的圖像，其總的數(shù)據(jù)量為，故以56K 波特的速率傳輸所需時間為： (b) 以3000K 波特的速率傳輸所需時間為 2.10 解：圖像寬高比為16:9，且水平電視線的條數(shù)是1080條，則：豎直電視線為1080（16/9）=1920 像素/線。 由題意可知每場用1s 的1/60，則：每幀用時21/60=1/30 秒。 則該系統(tǒng)每1/30 秒的時間形成一幅19201080 分辨率的紅、綠、藍每個像素都有8 比特的圖像。又因為90min

5、為5400 秒，故儲存90min 的電視節(jié)目所需的空間是： 2.11 解：p和q如圖所示： (a) 和不是4 鄰接，因為q 不在集中。 (b) 和是8 連接，因為q 在集。 (c) 和是m 連接，因為q 在集合中，且沒有V 值的像素。 2.12 提出將一個像素寬度的8通路轉(zhuǎn)換為4通路的一種算法。 解：找出一個像素點的所有鄰接情況，將對角元素轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的四鄰接元素。如下圖所示： 2.13 提出將一個像素寬度的m通路轉(zhuǎn)換為4通路的一種算法。 解：把m 通道轉(zhuǎn)換成4 通道僅僅只需要將對角線通道轉(zhuǎn)換成4 通道，由于m 通道是8 通道與4 通道的

6、混合通道，4 通道的轉(zhuǎn)換不變，將8 通道轉(zhuǎn)換成4 通道即可。 如圖所示： (1) 4 鄰域關(guān)系不變 (2) 8 領(lǐng)域關(guān)系變換如下圖所示 2.15 （沒答案，自己做的，看對不對） (1) 在V＝｛0,1,2｝時，p和q之間通路的D4距離為8（兩種情況均為8），D8距離為4，Dm距離為6。 (2) 在V＝｛2,3,4｝時，p和q之間通路的D4距離為∞，D8距離為4，Dm距離為5。 p 和q 之間不存在4 鄰接路徑，因為不同時存在從p 到q 像素的4 毗鄰像素和具備V 的值，情況如圖(a)所示。p 不能到達q。 2.16 解： (a) 點p(x，y）和點q

7、(s，t)兩點之間最短4 通路如下圖所示，其中假設(shè)所有點沿路徑V。 路徑段長度分別為，由D4距離的定義可知，通路總長度| X-S|+| Y-T|，（這個距離是獨立于任何點之間可能存在的任何路徑），顯然距離是等于這兩點間的最短4通路。所以當(dāng)路徑的長度是，滿足這種情況。 (b) 路徑可能未必惟一的，取決于V 和沿途的點值。 2.18 由公式H [f(x,y)]=g(x,y)(2.6-1), 讓H表示相鄰的和操作,讓和表示兩個不同子圖像區(qū)的小值,并讓 + 表示相應(yīng)的總數(shù)和像素,如在2.5.4節(jié)里的解釋. 注意到附近的大小(即像素數(shù)字)并沒有隨著這總和的改變而改變。H計算像素值是一個給定

8、的區(qū)域。然后, 意味著: (1) 在每個子區(qū)域里乘像素, (2) 從到每個像素值相加(首先產(chǎn)生一個單獨的子區(qū)域) (3) 在單獨的子圖像區(qū)域里計算所有像素值的和。讓和表示兩個任意(但相應(yīng)的)像素。 然后我們可以依據(jù)Eq.(2.6 - 1),表明H是一個線性算子。 2.19（兩個版本答案，一個意思） （1）中值ζ表示，數(shù)集的一半數(shù)值比它大，另一半比它小。 一個簡單的例子能夠表明,Eq.(2.6 - 1)的平均算子操作。 讓 S1 = {1,-2，3}, S2 = {4，5， 6}, a = b = 1. 在這種情況下,H是平均算子。 然后有H(S1 + S2)

9、=中值{ 5,3,9 } = 5，S1 + S2是S1和S2的和。 接下來,計算H(S1)=中值{ 1、-2、3 } =1和H(S2)=中值{ 4、5、6 } = 5。 然后,從H(aS1 + bS2)≠aH(S1)+ bH(S2),因此,子圖像區(qū)域S中值的算子是非線性的。 （2） 2.20 因為 2.23 （沒答案 看看做的對不對） (a) 為A的補集 (b) 2.24（看看翻的對不對） 答：使用三角區(qū)即三個約束點，所以我們可以解決以下的系數(shù)為6的線性方程組： 實

10、施空間變換。插值強度可使用2.4.4節(jié)的方法。 2.25（看看翻的對不對） 傅里葉變換核是可分的，因為： 傅里葉變換核是對稱的，因為： 2.26（看看翻的對不對） 由可分離變換核的定義知其中： 當(dāng)x值固定時，可看作f(x,y)某一行的一維變換，當(dāng)x從0變換到M-1時計算出整個數(shù)組T（x,v），然后，通過替換這個數(shù)組的最后一行以前的方程我們可以得到T（x,v）按列的一維變換。也就是說，當(dāng)一個圖像是內(nèi)核可分的，我們可以計算圖像沿行的一維變換，然后我們計算中間的一列得到最終的二維變換T(u,v).這和先計算列的一維變換再計算中間行得到二維變換最終結(jié)果是相同的。 從式

11、（2.6-33），二維傅里葉變換是由： 它很容易驗證，傅立葉變換核是可分離的（參見題2.25），所以我們可以寫這個方程： 是沿著f(x,y)行的一維傅里葉變換，X= 0，1，……，M-1。 第三章 （a）由，得：， （b）、由， 得： , （c）、 3.4 逐次查找像素值，如（x，y）=（0，0）點的f（x，y）值。若該灰度值的4比特的第0位是1，則該位置的灰度值全部置1，變?yōu)?5；否則全部置0，變?yōu)?。因此第7位平面[0

12、,7]置0，[7,15]置1，第6位平面[0,3]，[4,7]置0，[8,11]，[12,15]置15。依次對圖像的全部像素進行操作得到第0位平面，若是第i位平面，則該位置的第i位值是0還是1，若是1，則全置1，變?yōu)?5，若是0，則全置0 設(shè)像素的總數(shù)為n，是輸入圖像的強度值，由，rk對應(yīng)sk，所以，由 和得由此得知，第二次直方圖均衡化處理的結(jié)果與第一次直方圖均衡化處理的結(jié)果相同，這里我們假設(shè)忽略不計四舍五入的誤差。 3.11 , 令得 所以 3.12 第k個點鄰域內(nèi)的局部增強直方圖的值為： Pr(rk)=nk/n (k=0,1,2,……K-1)。這里nk是灰度級為r

13、k的像素個數(shù)，n是鄰域內(nèi)像素的總個數(shù)，k是圖像中可能的灰度級總數(shù)。假設(shè)此鄰域從左以一個像素為步長向右移動。這樣最左面的列將被刪除的同時在后面又產(chǎn)生一個新的列。變化后的直方圖則變成： (k=0,1,2,……K-1) 這里nlk是灰度級rk在左面的列出現(xiàn)的次數(shù)，nrk則為在右面出現(xiàn)的次數(shù)。上式也可以改寫成： (k=0,1,2,……K-1) 同樣的方法也適用于其他鄰域的移動： 這里ak是灰度級rk在鄰域內(nèi)在移動中被刪除的像素數(shù)，bk則是在移動中引入的像素數(shù)： (k=0,1,2,……K-1) 上式等號右邊的第一項為0（因為f中的元素均為常數(shù)）。變量是噪聲的簡單抽樣，它的方差是。因此 并且我

14、們可以得到。上述過程證明了式的有效性。 （A）中值是的最大值 （B）一旦中值被找出，我們簡單的刪除鄰域邊緣的值，在合適的位置插入合適的值 旋轉(zhuǎn)前坐標(biāo)的拉普拉斯定義為，旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)的拉普拉斯定義為，現(xiàn)在給出，其中指軸旋轉(zhuǎn)的角度，若想證明拉普拉斯變換是各向同性的，只需證明，首先， 兩邊對求導(dǎo)得， （1） 同理可得， 兩邊對求導(dǎo)得， （2） （1）和（2）式相加得，，所以拉普拉斯變換是各向同性的。 3.28 使用式（3.6-6）給出的拉普拉斯定義，證明從一幅圖像中減去相應(yīng)的拉普拉斯圖像等同于對圖像進行非銳化模板處理。 （3.6.6） 考慮到下列公式

15、 其中是預(yù)先確定的臨域的平均數(shù)，更確切的說就是以為中心并且包括中心像素以及四個相鄰像素。把上面的等式的最后一行的常量視為均衡因子（或比例因子），我們可以寫出 等式的右端就是等式給出的非銳化掩膜處理的定義。因此驗證了從一幅圖像中間取相應(yīng)的拉普拉斯圖像等同于對圖像做非銳化掩膜處理。 3.29題 （3.6.11） （3.6.12） （a）由 和 或 因此,我們看到的梯度向量的模值是一種各向同性梯度算子 （b）從上面的結(jié)果得， ， 顯然得到

16、 4.1 重復(fù)例4.1，但是用函數(shù)和，對于其他所有的t值。對你的結(jié)果和例子中的結(jié)果之間的任何不同，解釋原因。 解： 傅立葉變換的幅值是不變的；由于周期不同， 4.2 證明式（4.4-2）中的在兩個方向上是無限周期的，周期為 證明： (1) 要證明兩個方向上是無限周期，只需證明 根據(jù)如下式子： 可得： 其中上式第三行，由于k, n是整數(shù)，且和的極限是關(guān)于原點對稱。 (2) 同樣的需要證明 根據(jù)如下式子： 可得： 其中第三行由于k,

17、 n都為整數(shù)，所以。 4.3 可以證明（Brancewell[2000]）。 使用前一個性質(zhì)和表4.3中的平移性質(zhì)，證明連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換是，其中是一個實數(shù)。 證明： 根據(jù)一維傅里葉變換公式： 可得： 根據(jù)傅里葉變換性質(zhì)可得： 根據(jù)一個常數(shù)f(t)=1的傅里葉變換是一個脈沖響應(yīng)可得： 所以可得如下兩個等式： 所以： 4.4 考慮連續(xù)函數(shù) (a) 的周期是多少？(b)的頻率是多少? (a) 根據(jù)，所以周期為 (b) 頻率為，給定的正弦波的連續(xù)傅立葉變換如在圖。 P4.4（a）（見習(xí)題4.3），采樣數(shù)據(jù)（示出了幾個期間）的變換所示的一般形式的

18、如圖P4.4（b）（虛線框是一個理想的過濾器，將允許重建如果該正弦函數(shù)進行采樣，采樣定理滿意）。 4.8 解： (a) 根據(jù)正交性，將式(4.4-5)直接代入式(4.4-4)得 最后一步是根據(jù)問題的陳述中給出的正交條件，將式(4.4-4)代入式(4.6-5)應(yīng)用同樣的過程生成的相似特性。 (b) 如上小題，根據(jù)正交性，將式(4.4-7)直接代入式(4.4-6)得 最后一步是根據(jù)問題的陳述中給出的正交條件，將式(4.4-6)代入式(4.6-7)應(yīng)用同樣的過程生成的相似特性。 4.9證明式(4.4-8) 和式(4.4-9) 的正確性。 證明： (1) 證明等式 將代入

19、4.4.6式 ： 最后一步因為k和x都是整數(shù)，。 (2) 同理可以對4.4.9式周期性的證明，將代入4.4.7式 4.10 證明一個變量的離散卷積定理的正確性[見式(4.2-21)、式(4.2-22) 和式(4.2-10) ]。 證明： 證明卷積定理等價于證明 和 從式4.4.10 和式4.4.6離散傅里葉變換的定義，得到： 同理可以證明 4.11 寫出二維連續(xù)卷積的表達式 對4.2.20式進行卷積運算得到： 4.14 證明一維連續(xù)和離散傅里葉變換都是線性操作 解： 若連續(xù)傅里葉變換 是線性的，只需證明： 代入傅立

20、葉變換定義 其中第二步由于積分的分配率。 同樣的，離散傅里葉變換： 4.16 證明連續(xù)和離散傅里葉變換都是平移和旋轉(zhuǎn)不變的。 證明： 平移不變：根據(jù)二維離散傅立葉變換 可得 旋轉(zhuǎn)不變：根據(jù)二維離散傅立葉反變換 4.19 證明離散函數(shù)的DFT是 證明： 根據(jù)歐拉公式 其中最后一步由于，根據(jù)DFT平移性 。 4.29 找出一個等價的濾波器，在他的頻率域?qū)崿F(xiàn)使用圖3.37(a)中拉普拉斯模版執(zhí)行的空間操作。 解： 濾波后的函數(shù)為 又因為，其中 將濾波器變換為頻率中心對稱 當(dāng)(變換后濾波器中心)時，。對于遠離中心的值，降低。

21、重要的一點這是一個高通濾波器的特性，消除了直流分量，留下了高頻分量。 4.33 解： 共軛復(fù)數(shù)只是從j變成了-j在逆變換中，所以右邊的圖像可以通過下述過程求出： 可以知道整個過程只是將上下左右顛倒，從而產(chǎn)生了右邊的圖像 4.39 解： (a) 以卷積的形式給出濾波表達式，來減少空間域的處理過程。然后濾波后的圖像由下式給出： 其中h是空間濾波函數(shù)，f是輸入圖像。 直方圖處理結(jié)果為： T表示直方圖均衡化。如果先進行直方圖均衡化，再 與 總體來說，T是由圖像像素的屬性決定的非線性的函數(shù)。因此， ，并且先后順序是有影響的。 (b) 正如在第4.9節(jié)

22、，高通濾波嚴(yán)重削弱了圖像的對比度。雖然高頻率的改進一些，但并不顯著（見圖4.59）。因此，如果對一個圖像先直方圖均衡化，均衡化中對對比度的改進會在濾波過程中嚴(yán)重損失。因此，該過程一般是先濾波再直方圖均衡化。 4.41 證明： 因為，我們可以寫出等式(4.11-16)和(4.11-17)，分別為 與 用歸納法證明開始顯示兩個方程對于n = 1成立； 與 我們從4.11.3進行討論的部分中知道這些結(jié)果是正確的，然后我們假定方程對于n成立，那么可以得出方程對于n+1也成立。 從等式(4.11-14)中， 將m(n)從上式替換得到, 因此，等式(4.11-16)對所有的n

23、都成立。 從等式(4.11-17)中， 將a(n)從上式替換得到, 則證明了等式成立。 第五章 5.12 給出與表4.6中帶阻濾波器對應(yīng)的高斯和巴特沃斯帶通濾波器的公式。 一個帶通濾波通過從相應(yīng)的帶阻濾波而獲得： 然后： （a）理想帶通濾波： （b）巴特帶通濾波： （c）高斯帶通濾波： 5.13 以式（4.10-5）的形式給出高斯、巴特沃斯和理想陷波帶阻濾波器的

24、公式。 帶阻濾波器公式可以通過帶通濾波器的公式得到。兩者的和為1. (a) 理想陷波帶阻濾波： 其他 （b）巴特沃斯帶阻濾波： 1-巴特沃斯帶通 巴特帶通濾波： （c）高斯帶阻濾波： 1-高斯帶通濾波 高斯帶通濾波： 5.14 二維連續(xù)余弦函數(shù)的傅里葉變換 余弦的變換 帶入得到 這些都是傅里葉變換的功能 并且 結(jié)果變換成 即可 5.16 從例子（5.5-13） 即因此 得出 當(dāng) 這是一個持續(xù)的形式,一個高斯密度方差 或者

25、 減去的整體從無限數(shù)量的加上括號里面是1，因此 這是一個模糊的版本的原始圖像 5.21解決這一問題的關(guān)鍵是下面的函數(shù) 其中，是此函數(shù)的拉普拉斯(對r的二次導(dǎo)數(shù)) 那是, 等于給定的函數(shù)。然后我們知道從式4.4得到函數(shù)f(x,y) 因此，我們簡化了求高斯函數(shù)中的傅里葉變換。從表格4.1中,我們從高斯 對可以得到函數(shù)的傅里葉變換,其變換形式是 因此，退化函數(shù)的傅里葉變換是 5.22 這是一個簡單的擴展問題。它的目的是為了熟悉維納濾波器的各種條件。從式5

26、.8.3得 其中 然后 5.23 從式5.9.4得 其中，P(u,v)是拉普拉斯算子的傅氏變換。這是至于這個問題,我們可以合理地解答。拉普拉斯算子的變換的表達式通過問題4.19中得到的。然而, 對P(u,v)的代替,這只會增加濾波器的要求,并且不會簡化表達式。 5．24 因為這個系統(tǒng)是假定的線性和位置不變,因此可以用式子5.5.17。舉行。此外,我們可以用疊加問題,得到了系統(tǒng)響應(yīng)的F(u,v)和N(u,v)。兩個響應(yīng)的和是完整的

27、響應(yīng)。首先,僅用F(u,v) 然后，僅僅用N(u,v) 所以 第六章 6.1 給出用于產(chǎn)生圖6.5中標(biāo)為“日光”的點的紅光、綠光、藍光的百分比。 從圖中可知，x=0.31，y=0.32，由x+y+z=1可得z=0.37，這是三色值系數(shù)。我們感興趣的是三色值XYZ。由他們的變換公式：x = X/(X+Y+Z)，y=Y/(X/Y/Z)，z=Z/(X/Y/Z)，可知他們的比例是相同的，故可得：X=0.31，Y=0.32，Y=0.37 6.2 用c 表示給定的顏色，并且給出它的坐標(biāo)，用（x0,y0）表示，c和c

28、1之間的距離以及c1和c2的距離分別為： c1占c的百分比表示為: c2的百分比用p2表示：p2=100-p1,由上面的等式我們知道，作為例子，當(dāng)c=c1時，那么d(c,c1)=0,并且p1=100%,p2=0%,同樣當(dāng)d(c,c1)=d(c1,c2)時，p1=0%,p2=100%,從它們簡單的關(guān)系中可以容易地得出它們的值。 6.5 在中心點有R/2+ B/2+G= R+G+B /2 + G /2=midgray+G/2，由于增加了灰色分量和強度使人們看起來像純綠色。

29、 6.7 在每幅12比特圖像中有種可能值。對于灰度色彩，所有的RGB分量必須相等，所以有4096種不同的灰度。 6.8 （a）R圖像中的所有像素值都是255。在G圖像中，第一列全是0，第二列全是1，最后一列全由255組成。在B圖像中，第一行全為255，第二行全為254，直到最后一行全為0。 （b）（令坐標(biāo)軸編號同書中圖6.7（RGB彩色立方體示意圖）相同。）則：（0,0,0）=白色，（1,1,1）=黑色，（1,0,0）=青色，（1,1,0）=藍色，（1,0,1）=綠色，（0,1,1）=紅色，（0,0,1）=黃色，（0,1,0）=深紅色。 6.10 從式（6.5-5）的RGB亮度映射

30、函數(shù)推導(dǎo)出式（6.5-6）的CMY亮度映射函數(shù)。 （i=1,2,3） (6.5-5) (i=1,2,3) (6.5-6) 由公式可知，CMY圖像中的每個分量都是響應(yīng)RGB圖像單一分量的函數(shù)。C是R的函數(shù)，M是G的函數(shù)，Y是B的函數(shù)。為清楚起見，我們使用素數(shù)標(biāo)示CMY分量。有公式 （i=1,2,3）得，（對應(yīng)RGB分量），并且有公式得，對應(yīng)于和的CMY分量是（用素數(shù)表示）， 從而有， 因此， 6.11 最純的

31、紅色是FF0000，對應(yīng)元素（6，6） 最純的黃色是FFFF00，對應(yīng)元素（1，6） 【沒有答案，個人理解】 6.20 推導(dǎo)產(chǎn)生一幅彩色圖像的補色的CMY變換 一幅RGB圖像的補色變換為: (對應(yīng)RGB分量)， 由CMY空間定義公式可知，對應(yīng)于和的CMY分量（用素數(shù)表示）是 得： 因此 6.26 證明當(dāng)C=I（單位矩陣）時，式 6.7-2簡化為式6.7-1. (6.7-1) (6.7-2) 這是一個簡單的問題，當(dāng)C為單位矩陣時，C的逆矩陣也是單位矩陣，所以式（6.7-2）就變成了。括號中的部分被認為是向量（z-a）與其自身的內(nèi)積，所以它與式（6.7-1）的右邊部分是相等的。 【20、26題 個人翻譯，大家參考】