高三數(shù)學(xué)第62練 直線與圓綜合練

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1、 第62練 直線與圓綜合練 訓(xùn)練目標(biāo) (1)直線與圓的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用；(2)訓(xùn)練解題步驟的規(guī)范性． 訓(xùn)練題型 (1)求圓的方程；(2)切線問題、弦長(zhǎng)問題；(3)直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用． 解題策略 利用直線與圓的位置關(guān)系的幾何意義、弦長(zhǎng)公式及弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半之間的關(guān)系，列方程或不等式. 一、選擇題 1．過點(diǎn)P(2,3)向圓x2＋y2＝1作兩條切線PA，PB，則弦AB所在直線的方程為(　　) A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0 2．已知圓x2＋y2－2x＋my－4＝0上兩點(diǎn)M，N關(guān)于直

2、線2x＋y＝0對(duì)稱，則圓的半徑為(　　) A．9 B．3 C．2 D．2 3．已知圓x2＋y2＝4，過點(diǎn)P(0，)的直線l交該圓于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積的最大值是(　　) A. B．2 C．2 D．4 4．已知直線l：x－y＋2＝0與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，則在x軸正方向上投影的絕對(duì)值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 6．已知點(diǎn)M(－2,0)，N(2,0)，若

3、圓x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r>0)上存在點(diǎn)P(不同于M，N)，使得PM⊥PN，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是(　　) A．(1,5) B．[1,5] C．(1,3] D．[1,3] 7．(20xx·西安西北工業(yè)大學(xué)附中訓(xùn)練)直線(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)與圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 8．若圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：ax＋by＝0的距離為2，則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 二、填空題 9．已知圓C的方

4、程為x2＋y2－2y－3＝0，過點(diǎn)P(－1,2)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若使|AB|最小，則直線l的方程是________________． 10．已知直線ax＋y－1＝0與圓C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為________． 三、解答題 11．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行于x軸且過點(diǎn)A(3，2)的入射光線l1被直線l：y＝x反射，反射光線l2交y軸于B點(diǎn)，圓C過點(diǎn)A且與l1，l2都相切． (1)求l2所在直線的方程和圓C的方程； (2)設(shè)P，Q分別是直線l和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PB|＋|PQ|的最小值

5、及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．  答案精析 1．B　[以PO為直徑的圓(x－1)2＋2＝與圓x2＋y2＝1的公共弦即為所求，直線方程為2x＋3y－1＝0.] 2．B　[由題意知，圓心在直線2x＋y＝0上，∴2－m＝0，解得m＝4， ∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓的半徑為3.] 3．B　[當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，|AB|＝2＝2，所以S△OAB＝|AB|·d＝·d＝≤＝2，當(dāng)且僅當(dāng)4－d2＝d2，即d＝時(shí)等號(hào)成立，所以△OAB面積的最大值是2.] 4．C　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

6、在x軸正方向上投影的絕對(duì)值為|x2－x1|.聯(lián)立直線和圓的方程消去y得x2＋x－2＝0，解得兩根為－2，1，故|x2－x1|＝3.] 5．B　[圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圓的性質(zhì)可知最長(zhǎng)弦AC＝2，最短弦BD恰以E(0,1)為中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)F為其圓心，坐標(biāo)為(1,3)，故EF＝. ∴BD＝2＝2，∴S四邊形ABCD＝AC·BD＝10.] 6．A　[依題意得以AB為直徑的圓和圓x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r>0)有交點(diǎn)，圓x2＋y2－6x＋9－r2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－3)2＋y2＝r2.兩圓相切時(shí)不滿足條件，故兩圓相交，而以AB為直徑的圓

7、的方程為x2＋y2＝4，兩圓的圓心距為3，故|r－2|<3<r＋2，解得1<r<5，故選A.] 7．B　[圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9， 表示以C(1，－1)為圓心、3為半徑的圓． 圓心到直線的距離d＝＝. 9－d2＝9－＝， 而方程7a2－4a＋7＝0的判別式 Δ＝16－196＝－180<0， 故有9>d2，即d<3，故直線和圓相交．] 8．B　[由x2＋y2－4x－4y－10＝0，得(x－2)2＋(y－2)2＝18， 所以r＝3. 如圖，若圓O′上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離為2，則

8、需要直線l在如圖中的l1和l2之間(包括l1和l2)，l1和l2為臨界位置，此時(shí)圓心O′(2,2)到直線l：ax＋by＝0的距離為d＝，從而易求l1的傾斜角為，l2的傾斜角為，所以直線l的傾斜角的取值范圍為.] 9．x－y＋3＝0 解析　易知點(diǎn)P在圓的內(nèi)部，根據(jù)圓的性質(zhì)，若使|AB|最小，則AB⊥CP，因?yàn)閳A心C(0,1)，所以kCP＝＝－1，kl＝1，因此直線l的方程為y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0. 10．±1 解析　因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以圓心C(1，－a)到直線ax＋y－1＝0的距離 d＝rsin 45°＝，即d＝＝，所以a＝±1.

9、 11．解　(1)易知直線l1：y＝2，設(shè)l1交l于點(diǎn)D，則D(2，2)， 因?yàn)橹本€l的斜率為， 所以l的傾斜角為30°，所以l2的傾斜角為60°，所以k2＝， 所以反射光線l2所在的直線方程為y－2＝(x－2)， 即x－y－4＝0. 由題意，知圓C與l1切于點(diǎn)A，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)， 因?yàn)閳A心C在過點(diǎn)D且與l垂直的直線上，所以b＝－a＋8，① 又圓心C在過點(diǎn)A且與l1垂直的直線上，所以a＝3，② 由①②得a＝3，b＝－1， 故圓C的半徑r＝3， 故所求圓C的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝9. 綜上，l2所在直線的方程為x－y－4＝0，圓C的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝9. (2)設(shè)點(diǎn)B(0，－4)關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為B′(x0，y0)， 即＝·，且＝－， 解得x0＝－2，y0＝2，故B′(－2，2)． 由題意易知，當(dāng)B′，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PB|＋|PQ|最小， 故|PB|＋|PQ|的最小值為|B′C|－3＝－3＝2－3， 由 得P(，)， 故|PB|＋|PQ|的最小值為2－3， 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．