《高考復習方案大二輪全國新課標數(shù)學 文科高考備考方法策略：專題篇 10 簡解一類“恒成立”高考題 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考復習方案大二輪全國新課標數(shù)學 文科高考備考方法策略：專題篇 10 簡解一類“恒成立”高考題 Word版含答案（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
簡解一類“恒成立”高考題
定理 (1)若函數(shù)在處可導，且時恒成立，則；
(2) 若函數(shù)在處可導，且時恒成立，則．
初步感知 若，所以函數(shù)在處右側附近的圖像是減函數(shù)．又函數(shù)在處可導，所以．
同理，可得其他結論也成立．
嚴格證明 若，由函數(shù)在處可導及導數(shù)的定義，得
同理，可證得其他結論也成立．
題1 (1)(高考全國卷II理科第20題)設函數(shù)．若對所有的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．
(2)(高考陜西卷理科第21(2)題)設函數(shù)，其中是的導函數(shù).若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
解 (1)設，得．
由定理(1)得，即．
由導數(shù)易證，所以所求實數(shù)的取
2、值范圍是．
(2)可得題設即“恒成立”．由(1)知，所求答案也為．
題2 (高考全國卷I理科第20(2)題)設函數(shù)，若對所有的，都有，求實數(shù)的取值范圍．
解 同上可求得答案為．
題3 (高考全國卷II理科第22(2)題)設函數(shù)，若對所有的，都有，求實數(shù)的取值范圍．
解 設，得．
由定理(1)得，即．
下證當時，只需證：
當且時，欲證成立．
當且時，得．
還須證明時，欲證成立．
即證．
設，因為用導數(shù)易證，所以
所以是增函數(shù)，得，即欲證成立．
所以所求實數(shù)的取值范圍是．
題4 (高考新課標全國卷文科第21(2)題)設函數(shù)，若當時，都有，求的取值范圍．
3、
解 題設即，也即，還即．
用以上方法可求得答案為．
題5 (高考陜西卷理科第20(3)題)已知函數(shù)，其中.若的最小值為1，求的取值范圍．
解 設，得題設即.由定理(1)得，即．
當且時，還可證，即證．
設，得．
設，得，所以是增函數(shù)，得，即是增函數(shù)，所以，得欲證成立．
所以當時，．
得所求的取值范圍是．
題6 (高考遼寧卷文科第21題)(1)證明：當時，；
(2)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
解 (1)略．
(2)設，得，所以由定理3(1)可得即．
當且時，還可得：
得所求實數(shù)的取值范圍是．
題7 (高考遼寧卷理科第21題)已知函數(shù)．當
4、時：
(1)求證：；
(2)若求實數(shù)的取值范圍．
解 (1)欲證的左邊等價于.設，得．
得，所以當時，恒成立，所以是增函數(shù)，得，所以是增函數(shù)，得，即欲證成立．
可得欲證的右邊等價于，這用導數(shù)極易證得．
(2)設，得題設即．
由定理(1)可得即．
當且時，還可得：
設，得．用導數(shù)可證得在[0,1]上是減函數(shù)，所以，即在[0,1]上是減函數(shù)，所以，進而可得：當時，恒成立．
得所求實數(shù)的取值范圍是．
題8 (高考北京卷理科第18題)已知函數(shù)．
(1)求證：；
(2)若對恒成立，求的最大值與的最小值．
解 (1)略．
(2)設，得(由(1)得)，所以是減函數(shù)，得是減函數(shù)，所以所求的最大值是．
設，由題設得恒成立，，即．
用導數(shù)易證，即．
所以所求的最小值是1．
練習 1.若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
2.設R).
(1)討論函數(shù)的單調性；
(2)若當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
答案：1.．
2.(1)得.
當時，可得恒成立,所以函數(shù)在上是增函數(shù).
當時，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
(2)可得題設即恒成立.
令,得題設即恒成立.
可得函數(shù)在附近是減函數(shù)，由定理3(1)得.
當時，是減函數(shù)，所以.
所以是減函數(shù),得恒成立.
所以所求實數(shù)a的取值范圍是.
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