高考復(fù)習(xí)方案大二輪全國新課標(biāo)數(shù)學(xué) 文科高考備考方法策略:專題篇 10 簡解一類“恒成立”高考題 Word版含答案

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1、 簡解一類“恒成立”高考題 定理 (1)若函數(shù)在處可導(dǎo),且時恒成立,則; (2) 若函數(shù)在處可導(dǎo),且時恒成立,則. 初步感知 若,所以函數(shù)在處右側(cè)附近的圖像是減函數(shù).又函數(shù)在處可導(dǎo),所以. 同理,可得其他結(jié)論也成立. 嚴(yán)格證明 若,由函數(shù)在處可導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)的定義,得 同理,可證得其他結(jié)論也成立. 題1 (1)(高考全國卷II理科第20題)設(shè)函數(shù).若對所有的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. (2)(高考陜西卷理科第21(2)題)設(shè)函數(shù),其中是的導(dǎo)函數(shù).若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解 (1)設(shè),得. 由定理(1)得,即. 由導(dǎo)數(shù)易證,所以所求實(shí)數(shù)的取

2、值范圍是. (2)可得題設(shè)即“恒成立”.由(1)知,所求答案也為. 題2 (高考全國卷I理科第20(2)題)設(shè)函數(shù),若對所有的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解 同上可求得答案為. 題3 (高考全國卷II理科第22(2)題)設(shè)函數(shù),若對所有的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解 設(shè),得. 由定理(1)得,即. 下證當(dāng)時,只需證: 當(dāng)且時,欲證成立. 當(dāng)且時,得. 還須證明時,欲證成立. 即證. 設(shè),因為用導(dǎo)數(shù)易證,所以 所以是增函數(shù),得,即欲證成立. 所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是. 題4 (高考新課標(biāo)全國卷文科第21(2)題)設(shè)函數(shù),若當(dāng)時,都有,求的取值范圍.

3、 解 題設(shè)即,也即,還即. 用以上方法可求得答案為. 題5 (高考陜西卷理科第20(3)題)已知函數(shù),其中.若的最小值為1,求的取值范圍. 解 設(shè),得題設(shè)即.由定理(1)得,即. 當(dāng)且時,還可證,即證. 設(shè),得. 設(shè),得,所以是增函數(shù),得,即是增函數(shù),所以,得欲證成立. 所以當(dāng)時,. 得所求的取值范圍是. 題6 (高考遼寧卷文科第21題)(1)證明:當(dāng)時,; (2)若不等式對恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解 (1)略. (2)設(shè),得,所以由定理3(1)可得即. 當(dāng)且時,還可得: 得所求實(shí)數(shù)的取值范圍是. 題7 (高考遼寧卷理科第21題)已知函數(shù).當(dāng)

4、時: (1)求證:; (2)若求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解 (1)欲證的左邊等價于.設(shè),得. 得,所以當(dāng)時,恒成立,所以是增函數(shù),得,所以是增函數(shù),得,即欲證成立. 可得欲證的右邊等價于,這用導(dǎo)數(shù)極易證得. (2)設(shè),得題設(shè)即. 由定理(1)可得即. 當(dāng)且時,還可得: 設(shè),得.用導(dǎo)數(shù)可證得在[0,1]上是減函數(shù),所以,即在[0,1]上是減函數(shù),所以,進(jìn)而可得:當(dāng)時,恒成立. 得所求實(shí)數(shù)的取值范圍是. 題8 (高考北京卷理科第18題)已知函數(shù). (1)求證:; (2)若對恒成立,求的最大值與的最小值. 解 (1)略. (2)設(shè),得(由(1)得),所以是減函數(shù),得是減函數(shù),所以所求的最大值是. 設(shè),由題設(shè)得恒成立,,即. 用導(dǎo)數(shù)易證,即. 所以所求的最小值是1. 練習(xí) 1.若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 2.設(shè)R). (1)討論函數(shù)的單調(diào)性; (2)若當(dāng)時,恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 答案:1.. 2.(1)得. 當(dāng)時,可得恒成立,所以函數(shù)在上是增函數(shù). 當(dāng)時,可得函數(shù)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù). (2)可得題設(shè)即恒成立. 令,得題設(shè)即恒成立. 可得函數(shù)在附近是減函數(shù),由定理3(1)得. 當(dāng)時,是減函數(shù),所以. 所以是減函數(shù),得恒成立. 所以所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

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