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1、
課時(shí)規(guī)范練52 數(shù)學(xué)歸納法
一、選擇題
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊所得的代數(shù)式是( )
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4
答案:C
解析:左邊表示從1開(kāi)始,連續(xù)2n+1個(gè)正整數(shù)的和,故n=1時(shí),表示1+2+3的和.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式+…+(n≥2,n∈N*)的過(guò)程中,由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊( )
A.增加了一項(xiàng)
B.增加了兩項(xiàng)
C.增加了兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)
D.以上各種情況均不對(duì)
答案:C
解析:當(dāng)n=k+1時(shí),不等式為+…+,∴比當(dāng)n=k
2、時(shí)增加了項(xiàng).但最左端少了一項(xiàng).
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1++…+成立時(shí),起始值n至少應(yīng)取為( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案:B
解析:∵1++…+=2-,而1++…+,故起始值n至少取8.
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)”,從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為( )[來(lái)源:]
A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.
答案:B
解析:當(dāng)n=k時(shí),等式為(k+1)(k+2)…(k+k)=2k13…(2k-1),
當(dāng)n=k+1時(shí),等式為(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=2k
3、+113…(2k+1),
∴左端增乘=2(2k+1).
5.在數(shù)列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通過(guò)求a2,a3,a4,猜想an的表達(dá)式為( )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:由a1=,Sn=n(2n-1)an求得a2=,a3=,a4=.猜想an=.
6.設(shè)函數(shù)f(n)=(2n+9)3n+1+9,當(dāng)n∈N*時(shí),f(n)能被m(m∈N*)整除,猜想m的最大值為( )
A.9 B.18
C.27 D.36
答案:D
解析:f(n+1)-f(n)=(2n+11)3n+2-(2n+9)3n+1=4(n+6)3n+1,
當(dāng)n=1時(shí),f(2)-f(
4、1)=479為最小值,據(jù)此可猜想D正確.
7.對(duì)于不等式
5、時(shí),左邊計(jì)算所得的結(jié)果是 .
答案:1+a+a2
解析:首先觀察等式兩邊的構(gòu)成情況,它的左邊是按a的升冪順序排列的,共有n+2項(xiàng).因此當(dāng)n=1時(shí),共有3項(xiàng),應(yīng)該是1+a+a2.
9.用數(shù)學(xué)歸納法證明-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn時(shí),第二步中n=k+1時(shí),要證明的式子應(yīng)為 .
答案:-1+3-5+…+(-1)k+1(2k+1)=(-1)k+1(k+1)
10.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3,n∈N*),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(4)= ;當(dāng)n>4時(shí),f(n)= .
答案:5
6、
11.用數(shù)學(xué)歸納法證明(k>1),則當(dāng)n=k+1時(shí),左端應(yīng)乘上 ,這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是 .
答案:… 2k-1
解析:當(dāng)n=k時(shí),….
當(dāng)n=k+1時(shí),
.
∴左邊應(yīng)乘上,設(shè)第一項(xiàng)a1=2k+1,an=2k+1-1,d=2,
∴n==2k-1.
三、解答題
12.若n為大于1的自然數(shù),求證:+…+.
證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),
.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)不等式成立,
即+…+,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
+…+
=+…+[來(lái)源:]
=
>
=
=.
這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
由(1)(
7、2)可知,原不等式對(duì)任意大于1的自然數(shù)都成立.
13.用數(shù)學(xué)歸納法證明12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).
證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12-22=-3,
右邊=-1(21+1)=-3,
∴當(dāng)n=1時(shí)等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,
即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.
則當(dāng)n=k+1時(shí),12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5
8、k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],[來(lái)源:]
∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.
根據(jù)(1)和(2)可知,等式對(duì)任何n∈N*都成立.
14.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2;
(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并給出嚴(yán)格的證明.
解:(1)當(dāng)n=1時(shí),x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.
當(dāng)n=2時(shí),x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a2-,
于是-a2-a2=0,解得a2=.
(2)由題設(shè)知(Sn-1)
9、2-an(Sn-1)-an=0,
即-2Sn+1-anSn=0.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,
代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.(*)
由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=.
由(*)式可得S3=.
由此猜想Sn=,n=1,2,3,….
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.
①n=1時(shí)已知結(jié)論成立.
②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立,
即Sk=,
當(dāng)n=k+1時(shí),由(*)得Sk+1=,即Sk+1=,
故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
綜上,由①②可知Sn=對(duì)所有正整數(shù)n都成立.
四、選做題
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n∈N,n≥3),第一步應(yīng)驗(yàn)證(
10、 )[來(lái)源:][來(lái)源:]
A.n=1 B.n=2
C.n=3 D.n=4
答案:C
2.設(shè)f(n)=n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*),則用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被9整除的過(guò)程中,f(k+1)=f(k)+ .
答案:9k2+27k+27
3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=.
(1)計(jì)算a2,a3,a4的值;
(2)歸納推測(cè)an,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的推測(cè).
解:(1)∵a1=1,an+1=,
∴a2=,a3=,a4=.
(2)推測(cè)an=.
證明如下:
當(dāng)n=1時(shí),由(1)已知,推測(cè)成立.
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),推測(cè)成立,即ak=.
則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=,
所以,當(dāng)n=k+1時(shí),推測(cè)成立.
綜上,對(duì)一切自然數(shù)n,均有an=.
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