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1、
課時規(guī)范練52 數(shù)學歸納法
一、選擇題
1.用數(shù)學歸納法證明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式是( )
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4
答案:C
解析:左邊表示從1開始,連續(xù)2n+1個正整數(shù)的和,故n=1時,表示1+2+3的和.
2.用數(shù)學歸納法證明不等式+…+(n≥2,n∈N*)的過程中,由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊( )
A.增加了一項
B.增加了兩項
C.增加了兩項但減少了一項
D.以上各種情況均不對
答案:C
解析:當n=k+1時,不等式為+…+,∴比當n=k
2、時增加了項.但最左端少了一項.
3.用數(shù)學歸納法證明不等式1++…+成立時,起始值n至少應取為( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案:B
解析:∵1++…+=2-,而1++…+,故起始值n至少取8.
4.用數(shù)學歸納法證明:“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)”,從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為( )[來源:]
A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.
答案:B
解析:當n=k時,等式為(k+1)(k+2)…(k+k)=2k13…(2k-1),
當n=k+1時,等式為(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=2k
3、+113…(2k+1),
∴左端增乘=2(2k+1).
5.在數(shù)列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通過求a2,a3,a4,猜想an的表達式為( )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:由a1=,Sn=n(2n-1)an求得a2=,a3=,a4=.猜想an=.
6.設函數(shù)f(n)=(2n+9)3n+1+9,當n∈N*時,f(n)能被m(m∈N*)整除,猜想m的最大值為( )
A.9 B.18
C.27 D.36
答案:D
解析:f(n+1)-f(n)=(2n+11)3n+2-(2n+9)3n+1=4(n+6)3n+1,
當n=1時,f(2)-f(
4、1)=479為最小值,據(jù)此可猜想D正確.
7.對于不等式
5、時,左邊計算所得的結(jié)果是 .
答案:1+a+a2
解析:首先觀察等式兩邊的構(gòu)成情況,它的左邊是按a的升冪順序排列的,共有n+2項.因此當n=1時,共有3項,應該是1+a+a2.
9.用數(shù)學歸納法證明-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn時,第二步中n=k+1時,要證明的式子應為 .
答案:-1+3-5+…+(-1)k+1(2k+1)=(-1)k+1(k+1)
10.設平面內(nèi)有n條直線(n≥3,n∈N*),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù),則f(4)= ;當n>4時,f(n)= .
答案:5
6、
11.用數(shù)學歸納法證明(k>1),則當n=k+1時,左端應乘上 ,這個乘上去的代數(shù)式共有因式的個數(shù)是 .
答案:… 2k-1
解析:當n=k時,….
當n=k+1時,
.
∴左邊應乘上,設第一項a1=2k+1,an=2k+1-1,d=2,
∴n==2k-1.
三、解答題
12.若n為大于1的自然數(shù),求證:+…+.
證明:(1)當n=2時,
.
(2)假設當n=k(k∈N*)時不等式成立,
即+…+,
那么當n=k+1時,
+…+
=+…+[來源:]
=
>
=
=.
這就是說,當n=k+1時,不等式也成立.
由(1)(
7、2)可知,原不等式對任意大于1的自然數(shù)都成立.
13.用數(shù)學歸納法證明12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).
證明:(1)當n=1時,左邊=12-22=-3,
右邊=-1(21+1)=-3,
∴當n=1時等式成立.
(2)假設當n=k時,等式成立,
即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.
則當n=k+1時,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5
8、k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],[來源:]
∴當n=k+1時等式也成立.
根據(jù)(1)和(2)可知,等式對任何n∈N*都成立.
14.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2;
(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項公式,并給出嚴格的證明.
解:(1)當n=1時,x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.
當n=2時,x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a2-,
于是-a2-a2=0,解得a2=.
(2)由題設知(Sn-1)
9、2-an(Sn-1)-an=0,
即-2Sn+1-anSn=0.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1,
代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.(*)
由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=.
由(*)式可得S3=.
由此猜想Sn=,n=1,2,3,….
下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論.
①n=1時已知結(jié)論成立.
②假設n=k(k∈N*)時結(jié)論成立,
即Sk=,
當n=k+1時,由(*)得Sk+1=,即Sk+1=,
故n=k+1時結(jié)論也成立.
綜上,由①②可知Sn=對所有正整數(shù)n都成立.
四、選做題
1.用數(shù)學歸納法證明3n≥n3(n∈N,n≥3),第一步應驗證(
10、 )[來源:][來源:]
A.n=1 B.n=2
C.n=3 D.n=4
答案:C
2.設f(n)=n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*),則用數(shù)學歸納法證明f(n)能被9整除的過程中,f(k+1)=f(k)+ .
答案:9k2+27k+27
3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=.
(1)計算a2,a3,a4的值;
(2)歸納推測an,并用數(shù)學歸納法證明你的推測.
解:(1)∵a1=1,an+1=,
∴a2=,a3=,a4=.
(2)推測an=.
證明如下:
當n=1時,由(1)已知,推測成立.
假設當n=k時,推測成立,即ak=.
則當n=k+1時,ak+1=,
所以,當n=k+1時,推測成立.
綜上,對一切自然數(shù)n,均有an=.
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