精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修4學(xué)案：2.3.2　平面向量基本定理 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 3.2　平面向量基本定理 1．了解平面向量基本定理及其意義．(重點) 2．能應(yīng)用平面向量基本定理解決一些實際問題．(難點) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理　平面向量基本定理 閱讀教材P85～P86“例4”以上部分，完成下列問題． 如果e1，e2(如圖2－3－7①)是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如圖2－3－7②)，其中不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 圖2－3－7 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1

2、)平面向量的一組基底e1，e2中可以有一個向量為零向量．(　　) (2)任意兩個向量都可以作為基底．(　　) (3)平面向量的基底不是唯一的．(　　) (4)零向量不可作為基底中的向量．(　　) 【解析】　(1)×，因為零向量與任何向量均共線． (2)×，兩不共線的向量才可作為平面的一組基底． (3)(4)均正確． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：________________________________________

3、_________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問3：_________________________________________________________ 解惑：________________________

4、___________________________________ [小組合作型] 平面向量基本定理的理解 　如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，λ，μ是實數(shù)，判斷下列說法是否正確，并說明理由． (1)若λ，μ滿足λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0； (2)對于平面α內(nèi)任意一個向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的實數(shù)λ，μ有無數(shù)對； (3)線性組合λe1＋μe2可以表示平面α內(nèi)的所有向量； (4)當(dāng)λ，μ取不同的值時，向量λe1＋μe2可能表示同一向量． 【精彩點撥】　根據(jù)平面向量基本定理的內(nèi)容來判斷． 【自主解答】　(1)正確．若λ≠0，則e1＝－e2，從

5、而向量e1，e2共線，這與e1，e2不共線相矛盾，同理可說明μ＝0. (2)不正確．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一確定． (3)正確．平面α內(nèi)的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立． (4)不正確．結(jié)合向量加法的平行四邊形法則易知，當(dāng)λe1和μe2確定后，其和向量λe1＋μe2便唯一確定． 1．對于平面內(nèi)任何向量都可以用兩個不共線的向量來表示；反之，平面內(nèi)的任一向量也可以分解為兩個不共線的向量的和的形式． 2．向量的基底是指平面內(nèi)不共線的向量，事實上，若e1，e2是基底，則必有e1≠0，e2≠0，且e1與e2不共線，如0與e1，e1與2e1，e1＋e2與2(e1＋

6、e2)等均不能構(gòu)成基底． [再練一題] 1．設(shè)e1，e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量： ①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是________．(寫出所有滿足條件的序號) 【解析】?、僦校O(shè)e1＋e2＝λe1，則無解， ∴e1＋e2與e1不共線，即e1與e1＋e2可作為一組基底； ②中，設(shè)e1－2e2＝λ(e2－2e1)， 則(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，則無解， ∴e1－2e2與e2－2e1不共線，即e1－2e2與e2－2e1可作為一組基底；

7、 ③中，∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)， ∴e1－2e2與4e2－2e1共線，即e1－2e2與4e2－2e1不可作為一組基底； ④設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0， ∴無解． ∴e1＋e2與e1－e2不共線，即e1＋e2與e1－e2可作為一組基底． 【答案】?、? 運用基底表示向量 　如圖2－3－8，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分別是DC和AB的中點，若＝a，＝b，試用a，b表示，，. 圖2－3－8 【精彩點撥】　利用三角形法則或平行四邊形法則，尋找所求向量與a，b的關(guān)系． 【自主解答】　如圖所示，連接

8、CN，則四邊形ANCD是平行四邊形． 則＝＝＝a； ＝－＝－＝b－a； ＝－＝－－ ＝－－＝a－b. 利用基底表示未知向量，實質(zhì)就是利用向量的加法、減法以及數(shù)乘向量進(jìn)行線性運算，解決此類問題時，要仔細(xì)分析所給圖形，借助于平面幾何知識的向量共線定理及平面向量基本定理解決． [再練一題] 2．如圖2－3－9，在?ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知＝c，＝d，試用c，d表示和. 圖2－3－9 【解】　設(shè)＝a，＝b，則由M，N分別為DC，BC的中點可得：＝b，＝a，＋＝，即b＋a＝c.① ＋＝，即a＋b＝d.② 由①②可得a＝(2d－c)，b＝(2c－

9、d)， 即＝(2d－c)，＝(2c－d)． [探究共研型] 平面向量基本定理應(yīng)用 探究1　如果e1，e2是兩個不共線的確定向量，則與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a，能否用e1，e2表示？依據(jù)是什么？ 【提示】　能．依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則． 探究2　如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？ 【提示】　不一定．當(dāng)a與e1共線時可以表示，否則不能表示． 探究3　基底給定時，向量分解形式唯一嗎？ 【提示】　向量分解形式唯一． 　如圖2－3－10，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，AF與BD交于E，求證：E為線段BD的三等分點．

10、圖2－3－10 【精彩點撥】　要證E為線段BD的三等分點，只需證B＝B，可設(shè)B＝μB.選取，A作為基底，通過A＋B＝A，建立相應(yīng)的方程組，并進(jìn)行運算，求出μ＝即可． 【自主解答】　設(shè)A＝a，A＝b，則 B＝A－A＝b－a， A＝A＋D＝A＋A＝b＋a. 因為A，E，F(xiàn)與B，D，E分別共線，所以存在實數(shù)λ，μ∈R，使A＝λA，B＝μB. 于是A＝a＋λb，B＝μb－μa. 由A＋B＝A，得(1－μ)a＋μb＝a＋λb. 因為a，b不共線，由平面向量基本定理， 得1－μ＝，且μ＝λ. 解得λ＝μ＝，∴B＝B， 即E為線段BD(靠近D)的一個三等分點． 1．利用向量證明幾

11、何問題是其工具性的體現(xiàn)．操作時，為明確方向，常常選取問題中不共線的線段對應(yīng)的向量作為基底． 2．平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個不共線向量e1，e2的線性組合λ1e1＋λ2e2.在具體求λ1，λ2時有兩種方法：一是直接利用三角形法則、平行四邊形法則及平面向量基本定理；二是利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程組求解． [再練一題] 3．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的中點．試用向量法證明：AD，BE，CF交于一點． 【證明】　如圖，令＝a，＝b為基底， 則＝a－b，＝a－b，＝－a＋b， 設(shè)AD與BE交于點G，

12、且＝λ，＝μ， 則有＝λa－b，＝－a＋μb. 又有＝＋ ＝a＋(μ－1)b， ∴ 解得λ＝μ＝. ∴＝a－b， ＝＋ ＝－a＋a－b＝－a－b ＝×(－a－b)． 而＝(－a－b)， ∴＝， ∴點G∈CF，∴AD，BE，CF交于一點． [構(gòu)建·體系] 1．設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，下列向量組：①與；②與；③與；④與.其中可作為表示這個平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的基底的是(　　) A．①②　 B．①③　 C．①④　 D．③④ 【解析】　根據(jù)基底的概念知兩個向量必須不共線，結(jié)合圖形知①③正確． 【答案】　B 2．已

13、知向量e1與e2不共線，實數(shù)x，y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y等于(　　) A．3 B．－3 C．0 D．2 【解析】　因為(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2， 所以(3x－4y－6)e1＋(2x－3y－3)e2＝0， 所以由①－②得x－y－3＝0， 即x－y＝3. 【答案】　A 3.在△ABC中，若D，E，F(xiàn)依次是的四等分點，則以＝e1，＝e2為基底時，＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：66470048】 圖2－3－11 【解析】　＝－＝e1－e2， 因為D，E，F(xiàn)依次是的四等分點， 所以＝＝(e

14、1－e2)， 所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2. 【答案】　e1＋e2 4．已知向量i，j不共線，實數(shù)λ，μ滿足等式3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j，則λ的值為________，μ的值為________． 【解析】　由3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j得 λi＋(3－5μ)j＝0，因為i，j不共線． 所以λ＝0,3－5μ＝0，即μ＝. 【答案】　0　 5．設(shè)M，N，P是△ABC三邊上的點，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，試用a，b將，，表示出來． 【解】　如圖，＝－ ＝－－ ＝－－(－) ＝－＝b－a. ＝－ ＝－＝a－b. ＝

15、－＝－(＋)＝a＋b. 我還有這些不足： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________