精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修4學(xué)案:2.1 從位移、速、力到向量 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 1 從位移、速度、力到向量 1.1 位移、速度和力 1.2 向量的概念 1.理解向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示.(重點(diǎn)) 2.掌握共線向量、相等向量的概念.(難點(diǎn)) 3.正確區(qū)分向量平行與直線平行.(易混點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理 向量的概念 閱讀教材P73~P75“練習(xí)”以上部分,完成下列問題. 1.向量的有關(guān)概念 名稱 定義 表示方法 零向量 長度為零的向量 0 單位向量 長度為單位1的向量叫作單位向量 相等向量 長度相等且方向相同的向量 若a等于b,記作a=b 向量平行 或共線 表示兩個(gè)向量的有向

2、線段所在的直線平行或重合 a與b平行或共線,記作a∥b或a=λb,λ∈Z 2.向量及其表示 (1)定義 既有大小,又有方向的量叫作向量. (2)有向線段 具有方向和長度的線段叫作有向線段.其方向是由起點(diǎn)指向終點(diǎn),以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作,線段AB的長度也叫作有向線段的長度,記作||. (3)向量的長度 ||(或|a|)表示向量(或a)的大小,即長度(也稱模). (4)向量的表示法 ①向量可以用有向線段來表示,有向線段的長度表示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方向. ②向量也可以用黑體小寫斜體字母如a,b,c,…來表示,書寫用 , , …來表示. 判斷(

3、正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) (1)數(shù)量同向量一樣可以比較大小.(  ) (2)向量與向量是相等向量.(  ) (3)兩個(gè)向量平行時(shí),表示向量的有向線段所在的直線一定平行.(  ) (4)向量就是有向線段.(  ) 【解析】 (1)錯(cuò)誤.向量不能比較大小. (2)錯(cuò)誤.與方向相反不是相等向量. (3)錯(cuò)誤.兩條直線平行或重合. (4)錯(cuò)誤.向量不能等同于有向線段,有向線段只是向量的一種直觀表示. 【答案】 (1) (2) (3) (4) [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后,請(qǐng)將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流: 疑問1:_________________________

4、________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑問2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑問3:_________________________________________________________ 解惑:_________

5、__________________________________________________ [小組合作型] 向量的有關(guān)概念  給出下列幾種說法: ①溫度、速度、位移這些物理量都是向量; ②若|a|=|b|,則a=b或a=-b; ③向量的模一定是正數(shù); ④起點(diǎn)不同,但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量. 其中說法正確的是________.(填序號(hào)) 【精彩點(diǎn)撥】 解答時(shí)可從向量的定義、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手,逐一判斷對(duì)錯(cuò). 【自主解答】?、馘e(cuò)誤,只有速度、位移是向量. ②錯(cuò)誤.|a|=|b|僅說明a與b模相等,但不能說明它們方向的關(guān)系

6、. ③錯(cuò)誤.0的模|0|=0. ④正確.對(duì)于一個(gè)向量僅由大小和方向確定,與起點(diǎn)的位置無關(guān). 【答案】?、? 1.零向量是用向量的長度來定義的,共線向量是用表示向量的有向線段所在直線平行或重合來定義的.相等向量是用向量的長度和方向共同定義的,要弄清這些概念的聯(lián)系和區(qū)別. 2.理解向量的有關(guān)概念時(shí),注意區(qū)分向量與有向線段:只有起點(diǎn)、大小和方向均相同,才是相同的有向線段.對(duì)于向量,只要大小和方向相同,就是相等向量,而與起點(diǎn)無關(guān). [再練一題] 1.判斷下列說法是否正確,并說明理由. (1)若向量與是共線向量,則A,B,C,D必在同一直線上; (2)若向量a與b平行,則a與b的

7、方向相同或相反; (3)向量的長度與向量的長度相等; (4)單位向量都相等. 【解】 對(duì)于(1),考查的是有向線段共線與向量共線的區(qū)別.事實(shí)上,有向線段共線要求線段必須在同一條直線上.而向量共線時(shí),表示向量的有向線段可以是平行的,不一定在同一條直線上,所以(1)錯(cuò); 對(duì)于(2),由于零向量與任一向量平行,因此若a,b中有一個(gè)為零向量時(shí),其方向是不確定的,所以(2)錯(cuò); 對(duì)于(3),向量與方向相反,但長度相等.所以(3)對(duì); 對(duì)于(4),需要強(qiáng)調(diào)的是:單位向量不僅僅指的是長度,還有方向,而向量相等不僅僅需要長度相等而且還要求方向相同,所以(4)錯(cuò). 向量表示  (1)已知B,

8、C是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn),分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫出________個(gè)互不相等的非零向量. (2)一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點(diǎn),然后又改變方向向北偏西40走了200 km到達(dá)C點(diǎn),最后改變方向,向東行駛了100 km到達(dá)D點(diǎn). ①作出向量,,; ②求||. 【精彩點(diǎn)撥】 (1)根據(jù)向量的表示方法求解. (2)先作出表示東南西北的方位圖及100 km長度的線段,然后解答問題. 【自主解答】 (1)設(shè)線段AD的長度是3,則長度為1的向量有==,==,共2個(gè)互不相等的非零向量;長度為2的向量有=,=共有2個(gè)互不相等的非零向量,長度為3的向量有,,共2個(gè)互

9、不相等的非零向量,綜上知共6個(gè)互不相等的非零向量. 【答案】 6 (2)①向量,,如圖所示. ②由題意,易知與方向相反,故與共線, 又||=||, ∴在四邊形ABCD中,AB綊CD, ∴四邊形ABCD為平行四邊形, ∴=,∴||=||=200(km). 1.準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的方向,然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).用有向線段來表示向量是向量的幾何表示,必須確定起點(diǎn)、長度和終點(diǎn),三者缺一不可. 2.起點(diǎn)相同,長度也相同的向量的終點(diǎn)組成以該起點(diǎn)為圓心,向量長度為半徑的圓. [再練一題] 2.小李離家從A點(diǎn)出發(fā)向東走2 km到達(dá)B點(diǎn),

10、然后從B點(diǎn)沿南偏西60走4 km,到達(dá)C點(diǎn),又改變方向向西走2 km到達(dá)D點(diǎn). (1)作出,,; (2)求小李到達(dá)D點(diǎn)時(shí)與A點(diǎn)的距離. 【解】 作,,,如圖所示: (2)依題意,四邊形ABCD為平行四邊形, ∴||=||=4, 即小李到達(dá)D點(diǎn)時(shí)離A點(diǎn)4 km. [探究共研型] 相等向量與共線向量 探究1 如果兩個(gè)非零向量所在的直線互相平行,那么這兩個(gè)向量的方向有什么關(guān)系? 【提示】 方向相同或相反. 探究2 相等向量和共線向量有怎樣的關(guān)系?兩個(gè)向量能比較大小嗎? 【提示】 相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定是相等向量,兩個(gè)向量不能比較大小. 探究3 平行

11、四邊形的對(duì)邊有哪些性質(zhì)?表示共線向量的有向線段所在的直線有什么位置關(guān)系? 【提示】 平行四邊形的對(duì)邊平行且相等,表示共線向量的有向線段所在直線平行或重合. 探究4 如果非零向量與是共線向量,那么點(diǎn)A,B,C,D是否一定共線? 【提示】 不一定共線.  如圖2-1-1所示,O是正六邊形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c. 圖2-1-1 (1)與a的模相等的向量有多少個(gè)? (2)與a的長度相等,方向相反的向量有哪些? (3)與a共線的向量有哪些? (4)請(qǐng)分別一一列出與a,b,c相等的向量. 【精彩點(diǎn)撥】 由題目可獲得以下主要信息: ①六邊形ABCDEF是正六邊形;

12、 ②=a,=b,=c; ③求各相應(yīng)向量. 解答本題要充分借助幾何圖形的性質(zhì)及向量相關(guān)概念進(jìn)行判斷,從而解決相應(yīng)問題. 【自主解答】 (1)與a的模相等的向量有23個(gè). (2)與a的長度相等且方向相反的向量有,,,. (3)與a共線的向量有,,,,,,,,. (4)與a相等的向量有,,; 與b相等的向量有,,; 與c相等的向量有,,. 1.向量的模是用向量的長度來定義的,共線向量是用向量的方向來定義的,而相等向量是用向量的方向和長度共同定義的,要弄清這三個(gè)概念的聯(lián)系與區(qū)別. 2.共線向量有四種情況 方向相同且模相等;方向相同但模不等;方向相反但模相等;方向相反且模不等.

13、這樣,也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系,即共線向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共線向量. 3.向量的平行與直線平行的關(guān)系 兩條直線平行時(shí),直線上的有向線段平行,兩向量平行時(shí),表示向量的有向線段所在直線不一定平行,也可能重合.若直線m,n,l,m∥n,n∥l,則m∥l;若向量a,b,c,a∥b,b∥c,而a,c不一定平行. 4.向量的相關(guān)概念性質(zhì)與幾何知識(shí)交匯,要注意聯(lián)系幾何圖形的相關(guān)性質(zhì),使向量與幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來. [再練一題] 3.如圖2-1-2所示,O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形.在圖中所示的向量中: 圖2-1-2 (

14、1)分別寫出與,相等的向量; (2)寫出與共線的向量. 【解】 (1)∵||=||=||,且,與的方向相同,∴與相等的向量是,.同理,與相等的向量是. (2)∵AO∥DE∥BF,A,O,C三點(diǎn)共線, ∴與共線的向量是,,,. [構(gòu)建體系] 1.下列物理量:①質(zhì)量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度;⑦功.其中不是向量的有(  ) A.1個(gè)      B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【解析】 根據(jù)向量的概念知速度、力、加速度為向量. 【答案】 D 2.下列說法中正確的是(  ) A.零向量沒有方向 B.零向量的模等于零 C.單位向量的模等于1厘米 D.單

15、位向量的方向都相同 【解析】 零向量也有方向,其方向是任意的,因此A錯(cuò)誤;單位向量的模等于1個(gè)單位長度,而不是具體的1厘米,因此C錯(cuò)誤;單位向量的方向要因具體情況而定,因此D錯(cuò)誤.所以只有B是正確的. 【答案】 B 3.給出下列命題: ①若|a|>|b|,則a>b;②若a=b,則a∥b;③若|a|=0,則a=0;④0=0;⑤向量大于向量;⑥方向不同的兩個(gè)向量一定不平行. 其中,正確命題的序號(hào)是________.(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):66470038】 【解析】?、俨徽_.向量不能比較大??;②正確.共線向量是指方向相同或相反的向量,相等向量一定共線;③正確;

16、④不正確.0是一個(gè)向量,而0是一個(gè)數(shù)量,應(yīng)|0|=0;⑤不正確.因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小,這是向量與數(shù)量的顯著區(qū)別,向量的??梢员容^大小;⑥不正確.因?yàn)槠叫邢蛄堪ǚ较蛳嗤头较蛳喾磧煞N情況. 【答案】?、冖? 4.設(shè)在平面上給定了一個(gè)四邊形ABCD,點(diǎn)K,L,M,N分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),在以已知各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中,與向量相等的向量是________. 【解析】 因?yàn)镵,L分別是AB,BC的中點(diǎn),所以KL∥AC,KL=AC,同理MN綊AC,所以KL∥MN.KL=MN,所以=. 【答案】  5.如圖2-1-3所示,四邊形ABCD與ABEC都是平行四邊形. 圖2-

17、1-3 (1)用有向線段表示與向量相等的向量; (2)用有向線段表示與向量共線的向量. 【解】 (1)與向量相等的向量是向量,. (2)與共線的向量為,,,,,,. 我還有這些不足: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________

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