精編高中數(shù)學北師大版必修三教學案：第一章167;4 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學資料 [核心必知] 1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) (1)眾數(shù)的定義： 一組數(shù)據(jù)中重復出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)的眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個，也可以是多個． (2)中位數(shù)的定義及求法： 把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，把處于最中間位置的那個數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù))稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． (3)平均數(shù)： ①平均數(shù)的定義： 如果有n個數(shù)x1、x2、…、xn，那么＝，叫作這n個數(shù)的平均數(shù)． ②平均數(shù)的分類： 總體平均數(shù)：總體中所有個體的平均數(shù)叫總體平均數(shù)． 樣本平均數(shù)：樣本中所有個體的平均數(shù)叫樣本平均數(shù)． 2．標準差、方差 (1)標準差的求法： 標

2、準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示． s＝. (2)方差的求法： 標準差的平方s2叫作方差． s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 其中，xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本均值． (3)方差的簡化計算公式： s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2] ＝(x＋x＋…＋x)－2. 3．極差 一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為這組數(shù)據(jù)的極差． 4．數(shù)字特征的意義 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，極差、方差刻畫了一組數(shù)據(jù)的離散程度． [問題思考] 1．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定存在嗎？若存在，眾數(shù)是唯一的嗎？ 提示：不一定．若一組數(shù)據(jù)中

3、，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)；不是，可以是一個，也可以是多個． 2．如何確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)？ 提示：(1)當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，中位數(shù)是按從小到大順序排列的中間位置的那個數(shù)． (2)當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，中位數(shù)為排列在最中間的兩個數(shù)的平均值． 講一講 1.據(jù)報道，某公司的33名職工的月工資(單位：元)如下： 職務 董事長 副董事長 董事 總經理 經理 管理員 職員 人數(shù) 1 1 2 1 5 3 20 工資 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求該公司職工

4、月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)． (2)假設副董事長的工資從5 000元提升到20 000元，董事長的工資從5 500元提升到30 000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？(精確到元) (3)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平，結合此問題談一談你的看法． [嘗試解答]　(1)平均數(shù)是＝1 500＋ ≈1 500＋591＝2 091(元)． 中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元． (2)新的平均數(shù)是′＝1500＋ ≈1 500＋1 788＝3 288(元)． 中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元． (3)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司

5、員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平． 1．眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量． 2．眾數(shù)考查各個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分數(shù)據(jù)有關，當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題． 3．中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關，某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響，中位數(shù)可能在所給的數(shù)據(jù)中，也可能不在所給的數(shù)據(jù)中．當一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述它的某種集中趨勢． 練一練 1．某公司銷售部有銷售人員15人，銷售部為了

6、制定某種商品的月銷售定額，統(tǒng)計了這15人某月的銷售量如下： 銷售量(件) 1 800 510 250 210 150 120 人數(shù) 1 1 3 5 3 2 (1)求這15位銷售人員該月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)； (2)假設銷售部負責人把月銷售額定為320件，你認為是否合理，為什么？如不合理，請你制定一個較為合理的銷售定額． 解：(1)平均數(shù)為(1 8001＋5101＋2503＋2105＋1503＋1202)＝320(件)，中位數(shù)為210件，眾數(shù)為210件． (2) 不合理，因為15人中有13人的銷售量未達到320件，也就是說，雖然320是這一組數(shù)據(jù)的

7、平均數(shù)，但它卻不能反映全體銷售人員的銷售水平．銷售額定為210件更合理些，這是由于210既是中位數(shù)，又是眾數(shù)，是大部分人都能達到的定額. 講一講 2.甲、乙兩機床同時加工直徑為100 cm的零件，為了檢驗質量，各從中抽取6件進行測量，分別記錄數(shù)據(jù)為： 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差； (2)根據(jù)計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定． [嘗試解答]　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， 乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝10

8、0， s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均數(shù)相同，又s>s，所以乙機床加工零件的質量更穩(wěn)定． 在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度，在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性就越差；方差越小，數(shù)據(jù)越集中，質量越穩(wěn)定． 練一練

9、 2．對劃艇運動員甲、乙兩人在相同的條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下： 甲：27　38　30　37　35　31 乙：33　29　38　34　28　36 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試估計兩人最大速度的平均數(shù)和標準差，并判斷他們誰更優(yōu)秀． 解：甲＝(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝＝33， s＝[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝， s甲＝≈3.96， 乙＝(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝＝33， s＝[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33

10、)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝， s乙＝≈3.56. 由上知，甲、乙兩人最大速度的平均數(shù)均為33 m/s，甲的標準差為3.96 m/s，乙的標準差為3.56 m/s，說明甲、乙兩人的最大速度的平均值相同，但乙的成績比甲的成績更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀． 講一講 3.在一次科技知識競賽中，兩組學生的成績如下表： 分數(shù) 50 60 70 80 90 100 人數(shù) 甲組 2 5 10 13 14 6 乙組 4 4 16 2 12 12 已經算得兩個組的平均分都是80分．請根據(jù)你所學過的統(tǒng)計知識，進一步判斷這兩個組在這次競賽中的成

11、績誰優(yōu)誰劣，并說明理由． [嘗試解答]　(1)甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些． (2)甲＝(502＋605＋7010＋8013＋9014＋1006) ＝4 000＝80(分)， 乙＝(504＋604＋7016＋802＋9012＋10012)＝4 000＝80(分)． s＝[2(50－80)2＋5(60－80)2＋10(70－80)2＋13(80－80)2＋14(90－80)2＋6(100－80)2]＝172， s＝[4(50－80)2＋4(60－80)2＋16(70－80)2＋2(80－80)2＋12(90－80)2＋12(100－

12、80)2]＝256. ∵s

13、樣的實際問題還得從實際的角度去分析，如本講的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當?shù)卦u估后，組織好正確的語言作出結論． 練一練 3．甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如圖所示： (1)請?zhí)顚懴卤恚? 平均數(shù) 中位數(shù) 命中9環(huán)以上的次數(shù)(含9環(huán)) 甲 7 乙 (2)從下列三個不同角度對這次測試結果進行分析： ①從平均數(shù)和中位數(shù)相結合看，誰的成績好些？ ②從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結合看，誰的成績好些？ ③從折線圖中兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看，誰更有潛力？ 解：(1)由圖可知，甲打靶的成績?yōu)椋?,4,6,8,7,7,8,9,

14、9,10；乙打靶的成績?yōu)椋?,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 甲的平均數(shù)是7，中位數(shù)是7.5，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)是3； 乙的平均數(shù)是7，中位數(shù)是7，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)是1. (2)由(1)知，甲、乙的平均數(shù)相同． ①甲、乙的平均數(shù)相同，甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)大，所以甲成績較好． ②甲、乙的平均數(shù)相同，甲命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)比乙多，所以甲成績較好． ③從折線圖中看，在后半部分，甲呈上升趨勢，而乙呈下降趨勢，故甲更有潛力． 【解題高手】【多解題】 一個球隊所有隊員的身高如下(單位：cm)：178, 179, 181, 182, 176, 183, 176, 1

15、80, 183, 175, 181, 185, 180, 184，問這個球隊的隊員平均身高是多少？(精確到1 cm) [解]　法一：利用平均數(shù)的公式計算． ＝(178＋179＋181＋…＋180＋184)＝2 523≈180. 法二：建立新數(shù)據(jù)，再利用平均數(shù)簡化公式計算． 取a＝180，將上面各數(shù)據(jù)同時減去180，得到一組數(shù)據(jù)： －2，－1,1,2，－4,3，－4,0,3，－5,1,5,0,4. ′＝(－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4)＝3＝≈0.2， ∴＝′＋a＝0.2＋180≈180. 法三：利用加權平均數(shù)公式計算． ＝(1851＋1841＋183

16、2＋1821＋1812＋1802＋1791＋1781＋1762＋1751)＝2 523≈180. 法四：建立新數(shù)據(jù)（方法同法二），再利用加權平均數(shù)公式計算． ′＝[51＋41＋32＋21＋12＋02＋(－1)1＋(－2)1＋(－4)2＋(－5)1] ＝3≈0.2. ∴＝′＋a＝0.2＋180≈180. 1．已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)大小關系是(　　) A．平均數(shù)＞中位數(shù)＞眾數(shù) B．平均數(shù)＜中位數(shù)＜眾數(shù) C．中位數(shù)＜眾數(shù)＜平均數(shù) D．眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù) 解析：選D 可得出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)均為

17、50. 2．樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均數(shù)為1，則樣本方差為(　　) A.　　　B. C. D．2 解析：選D ∵樣本的平均數(shù)為1，即(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴樣本方差s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2. 3. 若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(　　) 8 9 7 9 3 1 6 4 0 2 A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92

18、解析：選A 將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96. 故平均數(shù)＝＝91.5，中位數(shù)為＝91.5. 4．(湖南高考)如圖是某學校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為________． (注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù)) 解析：該運動員五場比賽中的得分為8,9,10,13,15，平均得分＝＝11， 方差s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8. 答案：6.8 5．甲、乙兩人

19、在相同條件下練習射擊，每人打5發(fā)子彈，命中環(huán)數(shù)如下： 甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 則兩人射擊成績的穩(wěn)定程度是________． 解析：∵甲＝8，乙＝8， s＝1.2，s＝1.6， ∴s

20、9 21.4 19.8 3 17.8 23.3 21.4 19.1 20.8 試評定哪一品種既高產又穩(wěn)定． 解：1＝21.0 kg，2＝21.0 kg，3＝20.48 kg； s＝0.572，s＝2.572，s＝3.5976， ∴1＝2＞3，s＜s＜s. ∴第一個品種既高產又穩(wěn)定． 一、選擇題 1．在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數(shù)為：90　89　90　95　93　94　93去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為(　　) A．92,2　　B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8 解析：選B 去掉最高分95

21、和最低分89后，剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝＝92， 方差為s2＝[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8. 2．已知一組數(shù)據(jù)為－3,5,7，x,11，且這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5，那么數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(　　) A．7 B．5 C．6 D．11 解析：選B 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5，則5出現(xiàn)的次數(shù)最多， ∴x＝5，那么這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為－3,5,5,7,11，則中位數(shù)為5. 3．如圖所示，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為A和B，樣本標準差分別為sA和sB，則(　　)

22、 A.A>B，sA>sB B.AsB C.A>B，sAsB. 4．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖所示，假設得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均數(shù)為，則(　　) A．me＝m0＝ B．me＝m0< C．me

23、)≈6，所以m0

24、方差為[(x1＋60－62.8)2＋(x2＋60－62.8)2＋…＋(xn＋60－62.8)2] ＝[(x1－2.8)2＋(x2－2.8)2＋…＋(xn－2.8)2] ＝3.6. 二、填空題 6．一個樣本按從小到大的順序排列為10,12,13，x,17,19,21,24，其中位數(shù)為16，則x＝________. 解析：由中位數(shù)的定義知＝16，∴x＝15. 答案：15 7．某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學生進行投籃練習，每人投10次，投中的次數(shù)如表所示： 學生 1號 2號 3號 4號 5號 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7

25、 6 7 9 則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為s2＝________. 解析：計算可得兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)均為7， 甲班的方差s＝＝； 乙班的方差 s＝＝. 則兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為s＝. 答案： 8．(湖北高考)某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7, 8,7,9,5,4,9,10,7,4 則(1)平均命中環(huán)數(shù)為________；(2)命中環(huán)數(shù)的標準差為________． 解析：(1)由公式知，平均數(shù)為(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7；(2)由公式知，s2＝(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4?s＝2. 答案：（1）7　

26、（2）2 三、解答題 9．為了了解市民的環(huán)保意識，某校高一(1)班50名學生在6月5日(世界環(huán)境日)這一天調查了各自家庭丟棄舊塑料袋的情況，有關數(shù)據(jù)如下表： 每戶丟棄舊塑料袋個數(shù) 2 3 4 5 戶數(shù) 6 16 15 13 (1)求這50戶居民每天丟棄舊塑料袋的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)； (2)求這50戶居民每天丟棄舊塑料袋的標準差． 解：(1)平均數(shù)＝(26＋316＋415＋513)＝＝3.7. 眾數(shù)是3，中位數(shù)是4. (2)這50戶居民每天丟棄舊塑料袋的方差為 s2＝[6(2－3.7)2＋16(3－3.7)2＋15(4－3.7)2＋13(5－3.7)2]

27、＝48.5＝0.97， 所以標準差s≈0.985. 10．某校甲班、乙班各有49名學生，兩班在一次數(shù)學測驗中的成績(滿分100分)統(tǒng)計如下表： 班級 平均分 眾數(shù) 中位數(shù) 標準差 甲班 79 70 87 19.8 乙班 79 70 79 5.2 (1)請你對下面的一段話給予簡要分析： 甲了85分，在班里算是上游了！” (2)請你根據(jù)表中數(shù)據(jù)，對這兩個班的測驗情況進行簡要分析，并提出教學建議． 解：(1)由中位數(shù)可知，85分排在第25名之后，從名次上講，85分不算是上游．但也不能單以班的小剛回家對媽媽說：“昨天的數(shù)學測驗，全班平均79分，得70分的人最多，我得名次來判斷學習成績的好壞，小剛得了85分，說明他對這階段的學習內容掌握較好． (2)甲班學生成績的中位數(shù)為87分，說明高于或等于87分的學生占一半以上，而平均分為79分，標準差很大，說明低分也多，兩極分化嚴重，建議對學習有困難的同學多給一些幫助； 乙班學生成績的中位數(shù)和平均分均為79分，標準差小，說明學生成績之間差別較小，成績很差的學生少，但成績優(yōu)異的學生也很少，建議采取措施提高優(yōu)秀率．