《精編數(shù)學(xué)學(xué)案同步精致講義選修21北師大版:第二章 空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運(yùn)算一 Word版含答案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《精編數(shù)學(xué)學(xué)案同步精致講義選修21北師大版:第二章 空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運(yùn)算一 Word版含答案(15頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
2 空間向量的運(yùn)算(一)
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解空間向量的加減法及運(yùn)算律.2.理解空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律,并掌握共線向量定理.
知識(shí)點(diǎn)一 空間向量的加減法及運(yùn)算律
思考 下面給出了兩個(gè)空間向量a,b,如何作出b+a,b-a?
答案 如圖,空間中的兩個(gè)向量a,b相加時(shí),我們可以先把向量a,b平移到同一個(gè)平面α內(nèi),以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)作=a,=b,則=+=a+b,=-=b-a.
梳理 類似于平面向量,可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算.
=+=a+b,
=-=a-b
知識(shí)點(diǎn)二 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律
定義
與平面向量一樣,實(shí)數(shù)λ與空間向量a
2、的乘積λa仍然是一個(gè)向量,稱為向量的數(shù)乘
幾何
定義
λ>0
λa與向量a的方向相同
λa的長度是a的長度的|λ|倍
λ<0
λa與向量a的方向相反
λ=0
λa=0,其方向是任意的
運(yùn)算律
分配律
λ(a+b)=λa+λb
結(jié)合律
λ(μa)=(λμ)a
注:在平面中,我們討論過兩個(gè)向量共線的問題,在空間中也有相應(yīng)的結(jié)論.
空間兩個(gè)向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得a=λb.
1.若a+b=0,則a=b=0.()
2.設(shè)λ∈R,若a=λb,則a與b共線.()
3.-=.()
4.直線l的方向向量為a,若a∥平面α,則l
3、∥平面α.()
類型一 空間向量的加減運(yùn)算
例1 如圖,已知長方體ABCD-A′B′C′D′,化簡下列向量表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.
(1)-;
(2)++.
考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
解 (1)-=-=+=.
(2)++=(+)+=+=.
向量,如圖所示.
引申探究
利用本例題圖,化簡+++.
解 結(jié)合加法運(yùn)算
+=,+=,+=0.
故+++=0.
反思與感悟 (1)首尾順次相接的若干向量之和,等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,即+++…+=.
(2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形,則它們的
4、和為0.如圖,+++++++=0.
跟蹤訓(xùn)練1 在如圖所示的平行六面體中,求證:++=2.
考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用
證明 ∵平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形,
∴=+,=+,=+,
∴++
=(+)+(+)+(+)
=2(++).
又∵=,=,
∴++=++=+=.
∴++=2.
類型二 共線問題
例2 (1)已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
(2)設(shè)e1,e2是空間兩個(gè)不共線的向量,已知=e1+ke2,
5、=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三點(diǎn)共線,實(shí)數(shù)k=________.
考點(diǎn) 線線、線面平行的判斷
題點(diǎn) 線線平行的判斷
答案 (1)A (2)1
解析 (1)因?yàn)椋剑?a+6b=3(a+2b)=3,故∥,又與有公共點(diǎn)A,
所以A,B,D三點(diǎn)共線.
(2)因?yàn)椋剑?e1+(k+6)e2,
且與共線,故=x,
即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,
故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0,
又∵e1,e2不共線,
∴解得故k的值為1.
反思與感悟 (1)判斷向量共線的策略
①熟記共線向量的充要條件:(ⅰ)若a∥b,b≠0,則存在唯一實(shí)數(shù)λ
6、使a=λb;(ⅱ)若存在唯一實(shí)數(shù)λ,使a=λb,b≠0,則a∥b.
②判斷向量共線的關(guān)鍵:找到實(shí)數(shù)λ.
(2)證明空間三點(diǎn)共線的三種思路
對(duì)于空間三點(diǎn)P,A,B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線.
①存在實(shí)數(shù)λ,使=λ成立.
②對(duì)空間任一點(diǎn)O,有=+t(t∈R).
③對(duì)空間任一點(diǎn)O,有=x+y(x+y=1).
跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示,在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn),請(qǐng)判斷向量與+是否共線?
考點(diǎn) 線線、線面平行的判斷
題點(diǎn) 線線平行的判斷
解 設(shè)AC的中點(diǎn)為G,連接EG,F(xiàn)G,
∴=,=,
又∵,,共面,
∴=+=+=(+),
∴與+共線
7、.
類型三 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及應(yīng)用
例3 如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)=a,=b,=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點(diǎn),試用a,b,c表示以下各向量:
(1);(2);(3)+.
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的線性運(yùn)算
解 (1)=+
=(+)+=a+c+b.
(2)=+=-++
=-a+b+c.
(3)+=(++)+(+)
=++++
=++=a+b+c.
引申探究
若把本例中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上,且=”,其他條件不變,如何表示?
解?。剑剑絘+c+b.
反思與感悟 利用
8、數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧
(1)數(shù)形結(jié)合:利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí),要結(jié)合具體圖形,利用三角形法則、平行四邊形法則,將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.
(2)明確目標(biāo):在化簡過程中要有目標(biāo)意識(shí),巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì).
跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F(xiàn)在對(duì)角線A1C上,且=.
求證:E,F(xiàn),B三點(diǎn)共線.
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間共線向量定理及應(yīng)用
證明 設(shè)=a,=b,=c.
因?yàn)椋?,=,
所以=,=,
所以==b,
=(-)=(+-)
=a+b-c,
所以=-=a-b-c
=.
又=++=-b-c+a=a-b-
9、c,
所以=,
又因?yàn)榕c有公共點(diǎn)E,所以E,F(xiàn),B三點(diǎn)共線.
1.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為的共有( )
①(+)+;
②(+)+;
③(+)+;
④(+)+.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
答案 D
解析 ①(+)+=+=;
②(+)+=+=;
③(+)+=+=;
④(+)+=+=,故選D.
2.設(shè)有四邊形ABCD,O為空間任意一點(diǎn),且+=+,則四邊形ABCD是( )
A.平行四邊形 B.空間四邊形
C.等腰梯形 D.矩形
考點(diǎn)
10、 空間向量的加減運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用
答案 A
解析 由+==+=,得=,故四邊形ABCD為平行四邊形,故選A.
3.下列條件,能說明空間不重合的A,B,C三點(diǎn)共線的是( )
A.+= B.-=
C.= D.||=||
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間共線向量定理及應(yīng)用
答案 C
解析 由=知與共線,又因有一共同的點(diǎn)B,故A,B,C三點(diǎn)共線.
4.若非零空間向量e1,e2不共線,則使2ke1-e2與e1+2(k+1)e2共線的k的值為________.
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間共線向量定理及應(yīng)用
答案?。?
解析 若2ke1-e2與
11、e1+2(k+1)e2共線,
則2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2],
∴∴k=-.
5.化簡2+2+3+3+=________.
考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
答案 0
解析 2+2+3+3+=2+2+2+2+++=0.
(1)空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧
①巧用相反向量:向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵,靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接.
②巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí),務(wù)必注意和向量、差向量的方向,必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果.
(2)證明(或判斷)三點(diǎn)A,B
12、,C共線時(shí),只需證明存在實(shí)數(shù)λ,使=λ(或=λ)即可,也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有=t+(1-t)”來證明三點(diǎn)A,B,C共線.
一、選擇題
1.化簡-+所得的結(jié)果是( )
A. B.
C.0 D.
考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
答案 C
解析?。剑剑?,故選C.
2.空間任意四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,則+-等于( )
A. B.
C. D.
考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
答案 D
3.已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,設(shè)G是CD的中點(diǎn),則+(+)等于( )
A. B.
C. D
13、.
考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
答案 A
解析 如圖,因?yàn)椋?,
所以+(+)=+=.
4.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為AC與BD的交點(diǎn).若=a,=b,=c,則下列向量中與相等的向量是( )
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.a-b+c
D.-a-b+c
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的線性運(yùn)算
答案 A
解析?。剑剑?+)
=c+(-a+b)=-a+b+c.
5.如圖所示,在四面體A-BCD中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),記=a,=b,=c,則等于( )
A.a(chǎn)-b+c
B.-a+b+c
14、C.a(chǎn)-b+c
D.-a+b+c
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的線性運(yùn)算
答案 B
解析 連接AE(圖略),
∵E是CD的中點(diǎn),=b,=c,
∴=(+)=(b+c).
在△ABE中,=+=-+,
又=a,∴=-a+(b+c)=-a+b+c.
6.設(shè)點(diǎn)M是△ABC的重心,記=a,=b,=c,且a+b+c=0,則等于( )
A. B.
C. D.
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的線性運(yùn)算
答案 D
解析 設(shè)D是BC邊的中點(diǎn),
∵M(jìn)是△ABC的重心,
∴=.而=(+)=(c-b),
∴=(c-b).
7.設(shè)空間四點(diǎn)O,A,B,P滿足=m
15、+n,其中m+n=1,則( )
A.點(diǎn)P一定在直線AB上
B.點(diǎn)P一定不在直線AB上
C.點(diǎn)P可能在直線AB上,也可能不在直線AB上
D.與的方向一定相同
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間共線向量定理及應(yīng)用
答案 A
解析 已知m+n=1,則m=1-n,
=(1-n)+n=-n+n,
即-=n(-),即=n.
因?yàn)椤?,所以和共線,
又AP和AB有公共點(diǎn)A,所以點(diǎn)A,P,B共線,故選A.
二、填空題
8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,化簡-+-的結(jié)果是________.
考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
答案 2
解析?。?/p>
16、=++-=+=2.
9.在空間四邊形ABCD中,連接BD,若△BCD是正三角形,且E為其中心,則+--的化簡結(jié)果為________.
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的線性運(yùn)算
答案 0
解析 連接DE并延長交BC于點(diǎn)F,連接AF(圖略),
則=,
∴+--
=+-+
=++=0.
10.若G為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足++=0,則G為△ABC的________.(填“外心”“內(nèi)心”“垂心”“重心”)
考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用
答案 重心
解析 因?yàn)椋剑剑?
所以AG所在直線的延長線為邊BC上的中線,同理,得BG所在直線的延長
17、線為AC邊上的中線,故G為其重心.
11.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有=x++,則x的值為________.
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間共面向量定理及應(yīng)用
答案
解析 ∵=x++,
且M,A,B,C四點(diǎn)共面,
∴x++=1,
∴x=.
三、解答題
12.如圖,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求證:MN∥平面CDE.
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間向量共面定理及應(yīng)用
證明 因?yàn)镸在BD上,
且BM=BD,
所以==+.
同理=+.
所以=++
18、
=++++
=+=+.
又與不共線,
根據(jù)共面向量定理可知,,共面.
因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi),
所以MN∥平面CDE.
四、探究與拓展
13.已知向量a,b,c互相平行,其中a,c同向,a,b反向,|a|=3,|b|=2,|c|=1,則|a+b+c|=________.
答案 2
14.設(shè)e1,e2,e3三向量不共面,而=e1+2e2+3e3,=2e1+λe2+μe3,=3λe1-e2-2μe3,如果A,B,D三點(diǎn)共線,則λ,μ的值為________.
考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
題點(diǎn) 空間共線向量定理及應(yīng)用
解析?。剑?2e1+λe2+μe3)+(3λe1-e2-2μe3)=(2+3λ)e1+(λ-1)e2-μe3.
∵A,B,D三點(diǎn)共線,
∴與是共線向量.
∴存在實(shí)數(shù)k,使得=k,即
e1+2e2+3e3=k[(2+3λ)e1+(λ-1)e2-μe3].
∴(1-2k-3kλ)e1+(2-kλ+k)e2+(3+kμ)e3=0.
∵e1,e2,e3三向量不共面,
∴1-2k-3kλ=0,2-kλ+k=0,3+kμ=0.
將k=-代入前兩式,
可得
解得λ=-1,μ=3.