精編數(shù)學(xué)學(xué)案同步精致講義選修21北師大版:第二章 空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運(yùn)算一 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 2 空間向量的運(yùn)算(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解空間向量的加減法及運(yùn)算律.2.理解空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律,并掌握共線向量定理. 知識點(diǎn)一 空間向量的加減法及運(yùn)算律 思考 下面給出了兩個空間向量a,b,如何作出b+a,b-a? 答案 如圖,空間中的兩個向量a,b相加時,我們可以先把向量a,b平移到同一個平面α內(nèi),以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)作=a,=b,則=+=a+b,=-=b-a. 梳理 類似于平面向量,可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算. =+=a+b, =-=a-b 知識點(diǎn)二 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律 定義 與平面向量一樣,實(shí)數(shù)λ與空間向量a

2、的乘積λa仍然是一個向量,稱為向量的數(shù)乘 幾何 定義 λ>0 λa與向量a的方向相同 λa的長度是a的長度的|λ|倍 λ<0 λa與向量a的方向相反 λ=0 λa=0,其方向是任意的 運(yùn)算律 分配律 λ(a+b)=λa+λb 結(jié)合律 λ(μa)=(λμ)a 注:在平面中,我們討論過兩個向量共線的問題,在空間中也有相應(yīng)的結(jié)論. 空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一一個實(shí)數(shù)λ,使得a=λb. 1.若a+b=0,則a=b=0.() 2.設(shè)λ∈R,若a=λb,則a與b共線.() 3.-=.() 4.直線l的方向向量為a,若a∥平面α,則l

3、∥平面α.() 類型一 空間向量的加減運(yùn)算 例1 如圖,已知長方體ABCD-A′B′C′D′,化簡下列向量表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量. (1)-; (2)++. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 解 (1)-=-=+=. (2)++=(+)+=+=. 向量,如圖所示. 引申探究 利用本例題圖,化簡+++. 解 結(jié)合加法運(yùn)算 +=,+=,+=0. 故+++=0. 反思與感悟 (1)首尾順次相接的若干向量之和,等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,即+++…+=. (2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形,則它們的

4、和為0.如圖,+++++++=0. 跟蹤訓(xùn)練1 在如圖所示的平行六面體中,求證:++=2. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用 證明 ∵平行六面體的六個面均為平行四邊形, ∴=+,=+,=+, ∴++ =(+)+(+)+(+) =2(++). 又∵=,=, ∴++=++=+=. ∴++=2. 類型二 共線問題 例2 (1)已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是(  ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D (2)設(shè)e1,e2是空間兩個不共線的向量,已知=e1+ke2,

5、=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三點(diǎn)共線,實(shí)數(shù)k=________. 考點(diǎn) 線線、線面平行的判斷 題點(diǎn) 線線平行的判斷 答案 (1)A (2)1 解析 (1)因?yàn)椋剑?a+6b=3(a+2b)=3,故∥,又與有公共點(diǎn)A, 所以A,B,D三點(diǎn)共線. (2)因?yàn)椋剑?e1+(k+6)e2, 且與共線,故=x, 即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2, 故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0, 又∵e1,e2不共線, ∴解得故k的值為1. 反思與感悟 (1)判斷向量共線的策略 ①熟記共線向量的充要條件:(ⅰ)若a∥b,b≠0,則存在唯一實(shí)數(shù)λ

6、使a=λb;(ⅱ)若存在唯一實(shí)數(shù)λ,使a=λb,b≠0,則a∥b. ②判斷向量共線的關(guān)鍵:找到實(shí)數(shù)λ. (2)證明空間三點(diǎn)共線的三種思路 對于空間三點(diǎn)P,A,B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線. ①存在實(shí)數(shù)λ,使=λ成立. ②對空間任一點(diǎn)O,有=+t(t∈R). ③對空間任一點(diǎn)O,有=x+y(x+y=1). 跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示,在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn),請判斷向量與+是否共線? 考點(diǎn) 線線、線面平行的判斷 題點(diǎn) 線線平行的判斷 解 設(shè)AC的中點(diǎn)為G,連接EG,F(xiàn)G, ∴=,=, 又∵,,共面, ∴=+=+=(+), ∴與+共線

7、. 類型三 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及應(yīng)用 例3 如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)=a,=b,=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點(diǎn),試用a,b,c表示以下各向量: (1);(2);(3)+. 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的線性運(yùn)算 解 (1)=+ =(+)+=a+c+b. (2)=+=-++ =-a+b+c. (3)+=(++)+(+) =++++ =++=a+b+c. 引申探究 若把本例中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上,且=”,其他條件不變,如何表示? 解 =+=++=a+c+b. 反思與感悟 利用

8、數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧 (1)數(shù)形結(jié)合:利用數(shù)乘運(yùn)算解題時,要結(jié)合具體圖形,利用三角形法則、平行四邊形法則,將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量. (2)明確目標(biāo):在化簡過程中要有目標(biāo)意識,巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì). 跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F(xiàn)在對角線A1C上,且=. 求證:E,F(xiàn),B三點(diǎn)共線. 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間共線向量定理及應(yīng)用 證明 設(shè)=a,=b,=c. 因?yàn)椋?,=, 所以=,=, 所以==b, =(-)=(+-) =a+b-c, 所以=-=a-b-c =. 又=++=-b-c+a=a-b-

9、c, 所以=, 又因?yàn)榕c有公共點(diǎn)E,所以E,F(xiàn),B三點(diǎn)共線. 1.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為的共有(  ) ①(+)+; ②(+)+; ③(+)+; ④(+)+. A.1個B.2個C.3個D.4個 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 答案 D 解析?、?+)+=+=; ②(+)+=+=; ③(+)+=+=; ④(+)+=+=,故選D. 2.設(shè)有四邊形ABCD,O為空間任意一點(diǎn),且+=+,則四邊形ABCD是(  ) A.平行四邊形 B.空間四邊形 C.等腰梯形 D.矩形 考點(diǎn)

10、 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用 答案 A 解析 由+==+=,得=,故四邊形ABCD為平行四邊形,故選A. 3.下列條件,能說明空間不重合的A,B,C三點(diǎn)共線的是(  ) A.+= B.-= C.= D.||=|| 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間共線向量定理及應(yīng)用 答案 C 解析 由=知與共線,又因有一共同的點(diǎn)B,故A,B,C三點(diǎn)共線. 4.若非零空間向量e1,e2不共線,則使2ke1-e2與e1+2(k+1)e2共線的k的值為________. 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間共線向量定理及應(yīng)用 答案 - 解析 若2ke1-e2與

11、e1+2(k+1)e2共線, 則2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2], ∴∴k=-. 5.化簡2+2+3+3+=________. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 答案 0 解析 2+2+3+3+=2+2+2+2+++=0. (1)空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個技巧 ①巧用相反向量:向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵,靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接. ②巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時,務(wù)必注意和向量、差向量的方向,必要時可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果. (2)證明(或判斷)三點(diǎn)A,B

12、,C共線時,只需證明存在實(shí)數(shù)λ,使=λ(或=λ)即可,也可用“對空間任意一點(diǎn)O,有=t+(1-t)”來證明三點(diǎn)A,B,C共線. 一、選擇題 1.化簡-+所得的結(jié)果是(  ) A. B. C.0 D. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 答案 C 解析?。剑剑?,故選C. 2.空間任意四個點(diǎn)A,B,C,D,則+-等于(  ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 答案 D 3.已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,設(shè)G是CD的中點(diǎn),則+(+)等于(  ) A. B. C. D

13、. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 答案 A 解析 如圖,因?yàn)椋?, 所以+(+)=+=. 4.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為AC與BD的交點(diǎn).若=a,=b,=c,則下列向量中與相等的向量是(  ) A.-a+b+c B.a+b+c C.a-b+c D.-a-b+c 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的線性運(yùn)算 答案 A 解析?。剑剑?+) =c+(-a+b)=-a+b+c. 5.如圖所示,在四面體A-BCD中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),記=a,=b,=c,則等于(  ) A.a(chǎn)-b+c B.-a+b+c

14、C.a(chǎn)-b+c D.-a+b+c 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的線性運(yùn)算 答案 B 解析 連接AE(圖略), ∵E是CD的中點(diǎn),=b,=c, ∴=(+)=(b+c). 在△ABE中,=+=-+, 又=a,∴=-a+(b+c)=-a+b+c. 6.設(shè)點(diǎn)M是△ABC的重心,記=a,=b,=c,且a+b+c=0,則等于(  ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的線性運(yùn)算 答案 D 解析 設(shè)D是BC邊的中點(diǎn), ∵M(jìn)是△ABC的重心, ∴=.而=(+)=(c-b), ∴=(c-b). 7.設(shè)空間四點(diǎn)O,A,B,P滿足=m

15、+n,其中m+n=1,則(  ) A.點(diǎn)P一定在直線AB上 B.點(diǎn)P一定不在直線AB上 C.點(diǎn)P可能在直線AB上,也可能不在直線AB上 D.與的方向一定相同 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間共線向量定理及應(yīng)用 答案 A 解析 已知m+n=1,則m=1-n, =(1-n)+n=-n+n, 即-=n(-),即=n. 因?yàn)椤?,所以和共線, 又AP和AB有公共點(diǎn)A,所以點(diǎn)A,P,B共線,故選A. 二、填空題 8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,化簡-+-的結(jié)果是________. 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 答案 2 解析?。?/p>

16、=++-=+=2. 9.在空間四邊形ABCD中,連接BD,若△BCD是正三角形,且E為其中心,則+--的化簡結(jié)果為________. 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的線性運(yùn)算 答案 0 解析 連接DE并延長交BC于點(diǎn)F,連接AF(圖略), 則=, ∴+-- =+-+ =++=0. 10.若G為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足++=0,則G為△ABC的________.(填“外心”“內(nèi)心”“垂心”“重心”) 考點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用 答案 重心 解析 因?yàn)椋剑剑? 所以AG所在直線的延長線為邊BC上的中線,同理,得BG所在直線的延長

17、線為AC邊上的中線,故G為其重心. 11.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),并且對空間任意一點(diǎn)O,有=x++,則x的值為________. 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間共面向量定理及應(yīng)用 答案  解析 ∵=x++, 且M,A,B,C四點(diǎn)共面, ∴x++=1, ∴x=. 三、解答題 12.如圖,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,點(diǎn)M,N分別在對角線BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求證:MN∥平面CDE. 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間向量共面定理及應(yīng)用 證明 因?yàn)镸在BD上, 且BM=BD, 所以==+. 同理=+. 所以=++

18、 =++++ =+=+. 又與不共線, 根據(jù)共面向量定理可知,,共面. 因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi), 所以MN∥平面CDE. 四、探究與拓展 13.已知向量a,b,c互相平行,其中a,c同向,a,b反向,|a|=3,|b|=2,|c|=1,則|a+b+c|=________. 答案 2 14.設(shè)e1,e2,e3三向量不共面,而=e1+2e2+3e3,=2e1+λe2+μe3,=3λe1-e2-2μe3,如果A,B,D三點(diǎn)共線,則λ,μ的值為________. 考點(diǎn) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn) 空間共線向量定理及應(yīng)用 解析?。剑?2e1+λe2+μe3)+(3λe1-e2-2μe3)=(2+3λ)e1+(λ-1)e2-μe3. ∵A,B,D三點(diǎn)共線, ∴與是共線向量. ∴存在實(shí)數(shù)k,使得=k,即 e1+2e2+3e3=k[(2+3λ)e1+(λ-1)e2-μe3]. ∴(1-2k-3kλ)e1+(2-kλ+k)e2+(3+kμ)e3=0. ∵e1,e2,e3三向量不共面, ∴1-2k-3kλ=0,2-kλ+k=0,3+kμ=0. 將k=-代入前兩式, 可得 解得λ=-1,μ=3.

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