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正確理解函數的平均變化率和導數
導數的創(chuàng)立是數學發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應用開創(chuàng)了向近代數學過度的新時期，為研究變量和函數提供了重要的方法和手段，導數概念是導數的核心概念之一，正確的理解導數的概念，成為學習導數的前提和基礎，下面對平均變化率與導數的概念作簡單分析，以供大家參考：
一、認識函數的平均變化率：
函數的平均變化率可以表現出函數的變化趨勢，增量取值越小，越能準確體現函數的變化情況．
⑴，式中的值可正、可負，但的值不能為零，的值可以為零，若函數為常數函數，則．
⑵式子中，與是相對應的“增量”，即在時，．
例1、求函數在區(qū)間內的平均變
2、化率．
解析：∵
．
∴函數在區(qū)間內的平均變化率為．
點評：直接利用函數平均變化率的表達式，再代入數據就可以求得相應的平均變化率的值，解答本題的關鍵是熟練掌握平均變化率的概念，同時解答過程中注意計算的準確性．
變式練習1、在2008年北京奧運會的比賽中，某自行車運動員的位移與比賽時間存在函數關系
（單位：米，時間單位：秒）求，時的與．
解析：由定義得，
，∴ 米/秒．
二、函數的平均變化率與導數的區(qū)別：
已知函數在及其附近有意義，則任取，那么比值，叫做函數函數在到之間的平均變化率，當趨近于0時，該比值趨近于常數，此時又稱為在的瞬時變化率，
3、把定義為函數在處的導數，記作：．
即函數的平均變化率是指函數在某一段區(qū)間上的平均值,而函數在一點處的導數是函數在該點的瞬時變化率．
例2、已知某物體自由落體運動時，時間關于位移的關系式為（其中）．
⑴求物體在到這段時間內的平均速度；
⑵求物體在時的瞬時速度．
解析：當由取一個改變量時，
取得相應改變量．
⑴物體在到這段時間內的平均速度．
⑵物體在時的瞬時速度．
點評：要求瞬時速度，首先求出平均速度，然后當時間改變量趨近于零時的極限即為物體的瞬時速度．
變式練習2、物體運動方程，求此物體在和時的瞬時速度．
解析：當時，，；
當時，，，
∴物體在和時的瞬時速
4、度分別為6和6．
三、正確理解導數的概念：
函數在某點的導數即函數在該點的變化率，即為該點的函數改變量與自變量的改變量的比值的極限，它是一個數值，不是變數，因此求函數在某點處的導數時，一般先求出函數的導數，再計算這點的導數值，而導函數簡稱導數，不是具體數值．
求導數的步驟：由導數的定義知，求函數在點處的導數的步驟：
①求函數的增量；②求平均變化率；
③求極限，得導數，可簡記為：一差、二化、三極限．
例4、⑴求函數在處的導數．
解析：∵．
∴，當無限趨近于0時，無限趨近于，
即，∴．
點評：在導數的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪種形式，與必須選擇與之相對應的形式，將已給定的極限式恒等變形為導數定義的形式，概念是解決問題的重要依據，只有熟練掌握概念的本質屬性，把握其內涵與外延，才能靈活地應用概念進行解題．
變式練習3、已知，求適合的的值．
解析：由導數的定義知：
，
因為，所以，即，
解得或．
高中數學北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：正確理解函數的平均變化率和導數
