高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：正確理解函數(shù)的平均變化率和導(dǎo)數(shù)

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 正確理解函數(shù)的平均變化率和導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過度的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段，導(dǎo)數(shù)概念是導(dǎo)數(shù)的核心概念之一，正確的理解導(dǎo)數(shù)的概念，成為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的前提和基礎(chǔ)，下面對平均變化率與導(dǎo)數(shù)的概念作簡單分析，以供大家參考： 一、認(rèn)識函數(shù)的平均變化率： 函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢，增量取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況． ⑴，式中的值可正、可負(fù)，但的值不能為零，的值可以為零，若函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，則． ⑵式子中，與是相對應(yīng)的“增量”，即在時(shí)，． 例1、求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均變

2、化率． 解析：∵ ． ∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均變化率為． 點(diǎn)評：直接利用函數(shù)平均變化率的表達(dá)式，再代入數(shù)據(jù)就可以求得相應(yīng)的平均變化率的值，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平均變化率的概念，同時(shí)解答過程中注意計(jì)算的準(zhǔn)確性． 變式練習(xí)1、在2008年北京奧運(yùn)會(huì)的比賽中，某自行車運(yùn)動(dòng)員的位移與比賽時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系 （單位：米，時(shí)間單位：秒）求，時(shí)的與． 解析：由定義得， ，∴ 米/秒． 二、函數(shù)的平均變化率與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別： 已知函數(shù)在及其附近有意義，則任取，那么比值，叫做函數(shù)函數(shù)在到之間的平均變化率，當(dāng)趨近于0時(shí)，該比值趨近于常數(shù)，此時(shí)又稱為在的瞬時(shí)變化率，

3、把定義為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作：． 即函數(shù)的平均變化率是指函數(shù)在某一段區(qū)間上的平均值,而函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率． 例2、已知某物體自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，時(shí)間關(guān)于位移的關(guān)系式為（其中）． ⑴求物體在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度； ⑵求物體在時(shí)的瞬時(shí)速度． 解析：當(dāng)由取一個(gè)改變量時(shí)， 取得相應(yīng)改變量． ⑴物體在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度． ⑵物體在時(shí)的瞬時(shí)速度． 點(diǎn)評：要求瞬時(shí)速度，首先求出平均速度，然后當(dāng)時(shí)間改變量趨近于零時(shí)的極限即為物體的瞬時(shí)速度． 變式練習(xí)2、物體運(yùn)動(dòng)方程，求此物體在和時(shí)的瞬時(shí)速度． 解析：當(dāng)時(shí)，，； 當(dāng)時(shí)，，， ∴物體在和時(shí)的瞬時(shí)速

4、度分別為6和6． 三、正確理解導(dǎo)數(shù)的概念： 函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即函數(shù)在該點(diǎn)的變化率，即為該點(diǎn)的函數(shù)改變量與自變量的改變量的比值的極限，它是一個(gè)數(shù)值，不是變數(shù)，因此求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再計(jì)算這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，而導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)，不是具體數(shù)值． 求導(dǎo)數(shù)的步驟：由導(dǎo)數(shù)的定義知，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟： ①求函數(shù)的增量；②求平均變化率； ③求極限，得導(dǎo)數(shù)，可簡記為：一差、二化、三極限． 例4、⑴求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)． 解析：∵． ∴，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近于， 即，∴． 點(diǎn)評：在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪種形式，與必須選擇與之相對應(yīng)的形式，將已給定的極限式恒等變形為導(dǎo)數(shù)定義的形式，概念是解決問題的重要依據(jù)，只有熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進(jìn)行解題． 變式練習(xí)3、已知，求適合的的值． 解析：由導(dǎo)數(shù)的定義知： ， 因?yàn)?，所以，即? 解得或．