高中數(shù)學北師大版選修22教案：第2章 變化的快慢與變化率 第一課時參考教案

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1、2019年北師大版精品數(shù)學資料 1變化的快慢與變化率 第一課時 變化的快慢與變化率——平均變化率 一、教學目標：1、理解函數(shù)平均變化率的概念； 2、會求給定函數(shù)在某個區(qū)間上的平均變化率，并能根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢。 二、教學重點：從變化率的角度重新認識平均速度的概念，知道函數(shù)平均變化率就是函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢的數(shù)量描述。 教學難點：對平均速度的數(shù)學意義的認識 三、教學方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 (一)、客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數(shù)學中引入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學來加以描

2、述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深，也由于科學技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數(shù)學發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學中的最大的一個創(chuàng)造。 從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題： 第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速

3、度的問題。 第二類問題是求曲線的切線的問題。 第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。 十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。 十七世紀下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大

4、功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻

5、的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。微積分學的創(chuàng)立，極大地推動

6、了數(shù)學的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。 研究函數(shù)，從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學分析。 本來從廣義上說，數(shù)學分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學科，但是現(xiàn)在一般已習慣于把數(shù)學分析和微積分等同起來，數(shù)學分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學和積分學。 微分學的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。 積分學的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。 微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律。此

7、后，微積分學極大的推動了數(shù)學的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經(jīng)濟學等自然科學、社會科學及應(yīng)用科學各個分支中的發(fā)展。并在這些學科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。 (二)、探析新課 問題1：物體從某一時刻開始運動，設(shè)s表示此物體經(jīng)過時間t走過的路程，顯然s是時間t的函數(shù)，表示為s=s(t) 在運動的過程中測得了一些數(shù)據(jù)，如下表： t/s 0 2 5 10 13 15 … s/m 0 6 9 20 32 44 … 物體在0～2s和10～13s這兩段時間內(nèi)，那一段時間運動得快？ 分析：我

8、們通常用平均速度來比較運動的快慢。 在0～2s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為； 在10～13s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為。 顯然，物體在后一段時間比前一段時間運動得快。 問題2：某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如下圖所示： 比較時間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？ 分析：根據(jù)圖像可以看出： 當時間x從0min到20min時，體溫y從39℃變?yōu)?8.5℃，下降了0.5℃； 當時間x從20min到30min時，體溫y從38.5℃變?yōu)?8℃，下降了0.5℃。 兩段時間下降相同的溫度，而后一段時間比前一

9、段時間短，所以后一段時間的體溫比前一段時間下降得快。 我們也可以比較在這兩段時間中，單位時間內(nèi)體溫的平均變化量，于是當時間x從0min到20min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為 （℃/min） 當時間x從20min到30min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為 （℃/min） 這里出現(xiàn)了負號，它表示體溫下降了，顯然，絕對值越大，下降的越快，這里體溫從20min到30min這段時間下降的比0min到20min這段時間要快。 （三）、小結(jié)：1、對一般的函數(shù)y=f（x）來說，當自變量x從變?yōu)闀r，函數(shù)值從f（）變?yōu)?。平均變化率就是函?shù)增量與自變量增量之比，函數(shù)在內(nèi)的平均變化率為，如我們常用到年產(chǎn)量的平均變化率。2、函數(shù)的平均變化率與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。 （四）、練習：P27頁練習1，2，3，4題；習題2-1中 1 （五）作業(yè)布置：1、已知曲線上兩點的橫坐標是和，求過兩點的直線斜率。 2、一物體按規(guī)律作變速直線運動，求該物體從2秒末到6秒末這段時間內(nèi)的平 均速度。 五、教后反思：