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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料
例析變化率與導(dǎo)數(shù)問題
導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，考慮到同學(xué)們初次接觸導(dǎo)數(shù)的知識，本文對導(dǎo)數(shù)的知識點作一歸類，供參考。
一、函數(shù)的平均變化率問題
例1 求函數(shù)在到之間的平均變化率，并計算當(dāng)，時平均變化率的值。
分析：直接利用概念求平均變化率，先求出表達(dá)式，再直接代入數(shù)據(jù)就可以求得相應(yīng)的平均變化率。
解析：當(dāng)自變量變化到時，函數(shù)的平均變化率為
。
當(dāng)，時，平均變化率的值為。
評注：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平均變化率的意義，只要求出平均變化率的表達(dá)式，它的值就可以很容易算出。
二、割線的斜率問題
例2 過曲線上兩點和作曲線的割線，求當(dāng)
2、時割線的斜率。
分析：割線的斜率即為函數(shù)從1到的平均變化率。
解析：∵，
∴割線的斜率為。
∴當(dāng)時，割線的斜率為，則
。
評注：一般地，設(shè)曲線是函數(shù)的圖象，是曲線上的定點，點是上與點鄰近的點，有，，，割線的斜率為。
三、平均速度問題
例3 自由落體的運(yùn)動方程為，計算從到，，各段內(nèi)的平均速度（位置的單位為）。
分析：要求平均速度，就是求的值，故求出，即可。
解析：設(shè)在內(nèi)的平均速度為，則
，
。
∴；
同理；
。
評注：當(dāng)?shù)闹翟叫r，其平均速度就越接近于一個定值。
四、瞬時速度問題
例4 某一物體的運(yùn)動方程為 求此物體在和時的瞬時速度。
分析：瞬時速
3、度就是路程對時間的變化率。
解析：當(dāng)時，，
∴
。
當(dāng)時，，
∴
。
∴物體在和時的瞬時速度分別為6和0。
評注：分段函數(shù)的瞬時速度問題應(yīng)考慮“間斷點”及“分段”的條件。
五、切點坐標(biāo)問題
例5 直線：和曲線：相切，求切點的坐標(biāo)及的值。
分析：設(shè)切點坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率后列方程即可。
解析：設(shè)直線與曲線相切于點，則
。
由題意知，即，解得或，
于是切點的坐標(biāo)為或。
當(dāng)切點為時，，解得；
當(dāng)切點為時，，解得（舍去）。
故的值為，切點坐標(biāo)為。
評注：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程、斜率等是高考?？純?nèi)容，一般以中、低檔題目出現(xiàn)，多為小題。
六、切線問題
例6 如果曲線的某一條切線與直線平行，求切點坐標(biāo)與切線方程。
分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的步驟：（1）求在處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線在處的切線的斜率；（2）利用點斜式寫出切線方程。
解析：∵切線與直線平行，∴斜率為3。
設(shè)切點坐標(biāo)為，則，
又
，
∴，從而得 ∴切點坐標(biāo)為。
∴所求切線方程為，即。
高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：例析變化率與導(dǎo)數(shù)問題
