高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：例析變化率與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 例析變化率與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題 導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，考慮到同學(xué)們初次接觸導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，本文對(duì)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)作一歸類(lèi)，供參考。 一、函數(shù)的平均變化率問(wèn)題 例1 求函數(shù)在到之間的平均變化率，并計(jì)算當(dāng)，時(shí)平均變化率的值。 分析：直接利用概念求平均變化率，先求出表達(dá)式，再直接代入數(shù)據(jù)就可以求得相應(yīng)的平均變化率。 解析：當(dāng)自變量變化到時(shí)，函數(shù)的平均變化率為 。 當(dāng)，時(shí)，平均變化率的值為。 評(píng)注：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平均變化率的意義，只要求出平均變化率的表達(dá)式，它的值就可以很容易算出。 二、割線(xiàn)的斜率問(wèn)題 例2 過(guò)曲線(xiàn)上兩點(diǎn)和作曲線(xiàn)的割線(xiàn)，求當(dāng)

2、時(shí)割線(xiàn)的斜率。 分析：割線(xiàn)的斜率即為函數(shù)從1到的平均變化率。 解析：∵， ∴割線(xiàn)的斜率為。 ∴當(dāng)時(shí)，割線(xiàn)的斜率為，則 。 評(píng)注：一般地，設(shè)曲線(xiàn)是函數(shù)的圖象，是曲線(xiàn)上的定點(diǎn)，點(diǎn)是上與點(diǎn)鄰近的點(diǎn)，有，，，割線(xiàn)的斜率為。 三、平均速度問(wèn)題 例3 自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為，計(jì)算從到，，各段內(nèi)的平均速度（位置的單位為）。 分析：要求平均速度，就是求的值，故求出，即可。 解析：設(shè)在內(nèi)的平均速度為，則 ， 。 ∴； 同理； 。 評(píng)注：當(dāng)?shù)闹翟叫r(shí)，其平均速度就越接近于一個(gè)定值。 四、瞬時(shí)速度問(wèn)題 例4 某一物體的運(yùn)動(dòng)方程為 求此物體在和時(shí)的瞬時(shí)速度。 分析：瞬時(shí)速

3、度就是路程對(duì)時(shí)間的變化率。 解析：當(dāng)時(shí)，， ∴ 。 當(dāng)時(shí)，， ∴ 。 ∴物體在和時(shí)的瞬時(shí)速度分別為6和0。 評(píng)注：分段函數(shù)的瞬時(shí)速度問(wèn)題應(yīng)考慮“間斷點(diǎn)”及“分段”的條件。 五、切點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題 例5 直線(xiàn)：和曲線(xiàn)：相切，求切點(diǎn)的坐標(biāo)及的值。 分析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線(xiàn)的斜率后列方程即可。 解析：設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，則 。 由題意知，即，解得或， 于是切點(diǎn)的坐標(biāo)為或。 當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，，解得； 當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，，解得（舍去）。 故的值為，切點(diǎn)坐標(biāo)為。 評(píng)注：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程、斜率等是高考?？純?nèi)容，一般以中、低檔題目出現(xiàn)，多為小題。 六、切線(xiàn)問(wèn)題 例6 如果曲線(xiàn)的某一條切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線(xiàn)方程。 分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程的步驟：（1）求在處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率；（2）利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程。 解析：∵切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，∴斜率為3。 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則， 又 ， ∴，從而得 ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為。 ∴所求切線(xiàn)方程為，即。