精編高中數(shù)學北師大版選修22教案：第1章 反證法 第一課時參考教案

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1、精編北師大版數(shù)學資料 反證法 一、教學目標：結合已經學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程與特點。 二、教學重點：了解反證法的思考過程與特點。 教學難點：正確理解、運用反證法。 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 （一）、復習：綜合法與分析法 綜合法與分析法各有其特點.從需求解題思路來看，分析法執(zhí)果索因，常常根底漸近，有希望成功；綜合法由因導果，往往枝節(jié)橫生，不容易奏效。 就表達過程而論，分析法敘述煩瑣，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰.也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表述。 因此，在實際解題時，常常把分析法和綜合法

2、結合起來運用，先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過程。 （二）、探究新課 1、反證法 反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。 反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(

3、小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。 歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。 2、例題探析 例1、已知a是整數(shù)，2能整除，求證：2能整除a. 證明：假設命題的結論不成立，即“2不能整除a”。 因為a是整數(shù)，故a是奇數(shù)，a可表示為2m+1（m為整數(shù)），則 ，即是奇數(shù)。 所以，2不能整除。這與已知“2能整除”相矛

4、盾。于是，“2不能整除a”這個假設錯誤，故2能整除a. 例2、在同一平面內，兩條直線a，b都和直線c垂直。求證：a與b平行。 證明：假設命題的結論不成立，即“直線a與b相交”。 設直線a，b的交點為M，a，c的交點為P，b，c的交點為Q， 如圖所示，則。 這樣的內角和 。 這與定理“三角形的內角和等于”相矛盾，這說明假設是錯誤的。 所以直線a與b不相交，即a與b平行。 例3、求證：是無理數(shù)。 證明： 不是無理數(shù)，即是有理數(shù)，那么它就可以表示成兩個整數(shù)之比， 設，且p，q互素，則。所以 。 ① 故是偶數(shù)，q也必

5、然為偶數(shù)。設q=2k，代入①式，則有，即， 所以p也為偶數(shù)。P和q都是偶數(shù)，它們有公約數(shù)2，這與p，q互素相矛盾。 因此，假設不成立，即“是無理數(shù)”。 （三）、小結：反證法的證題步驟是：（1）作出否定結論的假設；（2）進行推理，導出矛盾；（3）否定假設，肯定結論。 應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）. 方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實. 注：結合準備題分析以上知識。 反證法的適應范圍（“至多”、“至少”

6、、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題） （四）、練習：1、課本練習1. 2、“過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓”. 討論如何證明這個命題？ 證法：先假設可以作一個⊙O過A、B、C三點， 則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上， 即O是l與m的交點。 但 ∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾) ∴ 過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓。 （五）、作業(yè)：課本習題1-3： （3）、（4） 補充題：若、， (1)求證：； (2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式； (3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值. 解：（1）（采用反證法）. 若，即, 解得 從而與題設,相矛盾， 故成立. (2) 、、、、, . （3）因為 又, 所以, 因為上式是關于變量的恒等式，故可解得、 五、教后反思：