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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學資料
第二課時 二項式系數(shù)的性質(zhì)
二項式系數(shù)的性質(zhì)
n依次取1,2,3，…時，(a＋b)n展開式的二項式系數(shù)如圖所示：
觀察此表，思考下列問題．
問題1：同一行中，系數(shù)有什么規(guī)律？
提示：兩端都是1，與兩端1等距離的項的系數(shù)相等，
即C＝C.
問題2：相鄰兩行，系數(shù)有什么規(guī)律？
提示：在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即C＝C＋C.
“楊輝三角”及其規(guī)律
(1)楊輝三角
(2)“楊輝三角”蘊含的規(guī)律
①在同一行中，每行兩端都是1.
②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等
2、于它“肩上”兩數(shù)的和．即二項式系數(shù)滿足組合數(shù)的性質(zhì)C＝C＋C.
③與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即二項式系數(shù)具有對稱性．C＝C.
1．二項式系數(shù)性質(zhì)類似于組合數(shù)的兩個性質(zhì)：
(1)C＝C；
(2)C＝C＋C.
2．從表中可以看出(a＋b)n的展開式中二項式系數(shù)先增加，后減少，各二項式系數(shù)和等于2n，而C＋C＋C＋…＋C＝2n.
與“楊輝三角”有關的問題
[例1] 如圖所示，在“楊輝三角”中，斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…記其前n項和為Sn，求S19的值．
[思路點撥] 觀
3、察數(shù)列各項在楊輝三角中的位置，把各項還原為二項展開式系數(shù)，利用組合的性質(zhì)求和．
[精解詳析] 由圖知，數(shù)列中的首項是C，第2項是C，第3項是C，第4項是C，…，第17項是C，第18項是C，第19項是C.
∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)
＝＋C＝54＋220＝274.
[一點通] 解決與楊輝三角有關問題的一般思路：
(1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察；
(2)找規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律．
1．如圖是一個類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個
4、數(shù)均為________．
解析：觀察規(guī)律可知：第n行的首尾兩個數(shù)均為2n－1.
答案：2n－1
2．如圖，在由二項式系數(shù)所構成的楊輝三角中，第________行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為2∶3.
解析：由楊輝三角知，第1行中的數(shù)是C，C；第2行中的數(shù)是C，C，C；第3行中的數(shù)是C，C，C，C；…；第n行中的數(shù)是C，C，C，…，C.設第n行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為2∶3，則C∶C＝2∶3，解之得n＝34.
答案：34
二項展開式中系數(shù)的和
[例2] (10分)設(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x∈R)．
(1
5、)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 013的值；
(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a20 13的值．
[思路點撥] 可在已知的等式中分別取x＝0,1，－1，得各系數(shù)和、差的關系，進而求解．
[精解詳析] (1)在等式(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013中，令x＝0，得1＝a0.
∴a0＝1. (3分)
(2)在等式中，令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 013，∴a1＋a2＋…＋a2 013＝－2.
(6分)
(3)令x＝－1，x＝1，
得
相減，得－1－32 013＝2(a1＋a3＋…＋a
6、2 013)． (8分)
∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－(1＋22 013)． (10分)
[一點通] (1)賦值法是求二項展開式系數(shù)和問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況．
(2)一般地，二項式展開式f(x)的各項系數(shù)的和為f(1)，奇次項系數(shù)和為[f(1)－f(－1)]，偶次項系數(shù)和為[f(1)＋f(－1)]．
3．(1－2x)15的展開式中的各項系數(shù)和是( )
A．1 B．－1
C．215 D．315
解析：令x＝1時(－1)15＝－1.
7、
答案：B
4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
解：(1)令x＝0，則a0＝－1.
令x＝1，則a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，則a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.
(3)∵Tr＋1＝C(3x)7－r(－1)r，
∴a2k－1>0(k∈N＋)，a2k<0(k∈N
8、＋)．
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|
＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7
＝47＝16 384.
解決與楊輝三角有關的問題的注意事項：
(1)通過觀察找出每一行數(shù)據(jù)間的相互聯(lián)系以及行與行之間數(shù)據(jù)的相互聯(lián)系．然后對數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學式子將它表達出來，使問題得解．
(2)注意二項式系數(shù)性質(zhì)C＝C，C＝C＋C的應用．
1．(x－1)11展開式中x的偶次項系數(shù)之和是( )
A．－2 048 B．－1 023
C．－1 024 D．1 024
解析：令f(x)＝(x－1)11，偶次項系數(shù)之和是＝＝－1 024.
答案：C
9、2．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，則x，n的值可能為( )
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
解析：由Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1分別將選項A，B，C，D代入檢驗知，僅有x＝5，n＝4適合．
答案：C
3．若n展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為( )
A．10 B．20
C．30 D．120
解析：由2n＝64，得n＝6，∴Tk＋1＝Cx6－kk
＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)．
由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝C＝20.
答案：B
4．在4的展開式中各項系數(shù)之
10、和是16.則a的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．－1或3
解析：由題意可得(a－1)4＝16，a－1＝±2，解得a＝－1或a＝3.
答案：D
5．若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為________．
解析：令x＝－1，則原式可化為[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
答案：－2
6．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a
11、0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為________．
解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)·(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)，令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4＝(2－)4，于是(2＋)4·(2－)4＝1.
答案：1
7．已知(1＋3x)n的展開式中，末三項的二項式系數(shù)的和等于121，求展開式中二項式系數(shù)最大的項．
解：由題意知C＋C＋C＝121，
即C＋C＋C
12、＝121，
∴1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0，
解得n＝15或－16(舍)．
∴在(1＋3x)15的展開式中二項式系數(shù)最大的項是第八、九兩項．
且T8＝C(3x)7＝C37x7，
T9＝C(3x)8＝C38x8.
8．對二項式(1－x)10，
(1)展開式的中間項是第幾項？寫出這一項．
(2)求展開式中各二項式系數(shù)之和．
(3)求展開式中除常數(shù)項外，其余各項的系數(shù)和．
解：(1)展開式共11項，中間項為第6項，
T6＝C(－x)5＝－252x5.
(2)C＋C＋C＋…＋C
＝210＝1 024.
(3)設(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0.
令x＝0，得a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
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