新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第一章 5 第二課時 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) Word版含解析

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第二課時　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) n依次取1,2,3，…時，(a＋b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)如圖所示： 觀察此表，思考下列問題． 問題1：同一行中，系數(shù)有什么規(guī)律？ 提示：兩端都是1，與兩端1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等， 即C＝C. 問題2：相鄰兩行，系數(shù)有什么規(guī)律？ 提示：在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即C＝C＋C. “楊輝三角”及其規(guī)律 (1)楊輝三角 (2)“楊輝三角”蘊(yùn)含的規(guī)律 ①在同一行中，每行兩端都是1. ②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等

2、于它“肩上”兩數(shù)的和．即二項(xiàng)式系數(shù)滿足組合數(shù)的性質(zhì)C＝C＋C. ③與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即二項(xiàng)式系數(shù)具有對稱性．C＝C. 1．二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)類似于組合數(shù)的兩個性質(zhì)： (1)C＝C； (2)C＝C＋C. 2．從表中可以看出(a＋b)n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)先增加，后減少，各二項(xiàng)式系數(shù)和等于2n，而C＋C＋C＋…＋C＝2n. 與“楊輝三角”有關(guān)的問題 [例1]　如圖所示，在“楊輝三角”中，斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…記其前n項(xiàng)和為Sn，求S19的值． [思路點(diǎn)撥]　觀

3、察數(shù)列各項(xiàng)在楊輝三角中的位置，把各項(xiàng)還原為二項(xiàng)展開式系數(shù)，利用組合的性質(zhì)求和． [精解詳析]　由圖知，數(shù)列中的首項(xiàng)是C，第2項(xiàng)是C，第3項(xiàng)是C，第4項(xiàng)是C，…，第17項(xiàng)是C，第18項(xiàng)是C，第19項(xiàng)是C. ∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C ＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C) ＝＋C＝54＋220＝274. [一點(diǎn)通]　解決與楊輝三角有關(guān)問題的一般思路： (1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察； (2)找規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律． 1．如圖是一個類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個

4、數(shù)均為________． 解析：觀察規(guī)律可知：第n行的首尾兩個數(shù)均為2n－1. 答案：2n－1 2．如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第________行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為2∶3. 解析：由楊輝三角知，第1行中的數(shù)是C，C；第2行中的數(shù)是C，C，C；第3行中的數(shù)是C，C，C，C；…；第n行中的數(shù)是C，C，C，…，C.設(shè)第n行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為2∶3，則C∶C＝2∶3，解之得n＝34. 答案：34 二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和 [例2]　(10分)設(shè)(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x∈R)． (1

5、)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 013的值； (3)求a1＋a3＋a5＋…＋a20 13的值． [思路點(diǎn)撥]　可在已知的等式中分別取x＝0,1，－1，得各系數(shù)和、差的關(guān)系，進(jìn)而求解． [精解詳析]　(1)在等式(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013中，令x＝0，得1＝a0. ∴a0＝1. (3分) (2)在等式中，令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 013，∴a1＋a2＋…＋a2 013＝－2. (6分) (3)令x＝－1，x＝1， 得 相減，得－1－32 013＝2(a1＋a3＋…＋a

6、2 013)． (8分) ∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－(1＋22 013)． (10分) [一點(diǎn)通]　(1)賦值法是求二項(xiàng)展開式系數(shù)和問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項(xiàng)等情況． (2)一般地，二項(xiàng)式展開式f(x)的各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)，奇次項(xiàng)系數(shù)和為[f(1)－f(－1)]，偶次項(xiàng)系數(shù)和為[f(1)＋f(－1)]． 3．(1－2x)15的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)和是(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 C．215 D．315 解析：令x＝1時(－1)15＝－1.

7、 答案：B 4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 解：(1)令x＝0，則a0＝－1. 令x＝1，則a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，則a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，② 由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256. (3)∵Tr＋1＝C(3x)7－r(－1)r， ∴a2k－1>0(k∈N＋)，a2k<0(k∈N

8、＋)． ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7| ＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7 ＝47＝16 384. 解決與楊輝三角有關(guān)的問題的注意事項(xiàng)： (1)通過觀察找出每一行數(shù)據(jù)間的相互聯(lián)系以及行與行之間數(shù)據(jù)的相互聯(lián)系．然后對數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式子將它表達(dá)出來，使問題得解． (2)注意二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C＝C，C＝C＋C的應(yīng)用． 1．(x－1)11展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是(　　) A．－2 048　　　　　　　　 B．－1 023 C．－1 024 D．1 024 解析：令f(x)＝(x－1)11，偶次項(xiàng)系數(shù)之和是＝＝－1 024. 答案：C

9、2．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，則x，n的值可能為(　　) A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4 C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5 解析：由Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1分別將選項(xiàng)A，B，C，D代入檢驗(yàn)知，僅有x＝5，n＝4適合． 答案：C 3．若n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．120 解析：由2n＝64，得n＝6，∴Tk＋1＝Cx6－kk ＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)． 由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝C＝20. 答案：B 4．在4的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之

10、和是16.則a的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．－1或3 解析：由題意可得(a－1)4＝16，a－1＝±2，解得a＝－1或a＝3. 答案：D 5．若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為________． 解析：令x＝－1，則原式可化為[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 答案：－2 6．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a

11、0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為________． 解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)·(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)，令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4＝(2－)4，于是(2＋)4·(2－)4＝1. 答案：1 7．已知(1＋3x)n的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)． 解：由題意知C＋C＋C＝121， 即C＋C＋C

12、＝121， ∴1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0， 解得n＝15或－16(舍)． ∴在(1＋3x)15的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第八、九兩項(xiàng)． 且T8＝C(3x)7＝C37x7， T9＝C(3x)8＝C38x8. 8．對二項(xiàng)式(1－x)10， (1)展開式的中間項(xiàng)是第幾項(xiàng)？寫出這一項(xiàng)． (2)求展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和． (3)求展開式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)和． 解：(1)展開式共11項(xiàng)，中間項(xiàng)為第6項(xiàng)， T6＝C(－x)5＝－252x5. (2)C＋C＋C＋…＋C ＝210＝1 024. (3)設(shè)(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0. 令x＝0，得a0＝1. ∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.