新版數(shù)學學案同步精致講義選修21北師大版:第二章 空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運算二 Word版含答案

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1、新版數(shù)學北師大版精品資料 2 空間向量的運算(二) 學習目標 1.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算與運算律.2.掌握兩個向量的數(shù)量積在判斷向量共線與垂直中的應(yīng)用. 知識點 數(shù)量積的概念及運算律 1.已知兩個非零向量a,b,則|a||b|cos〈a,b〉叫作a,b的數(shù)量積,記作ab,即ab=|a||b|cos〈a,b〉. 2.空間向量數(shù)量積的性質(zhì) (1)a⊥b?ab=0. (2)|a|2=aa,|a|=. (3)cos〈a,b〉=. 3.空間向量數(shù)量積的運算律 (1)(λa)b=λ(ab)(λ∈R). (2)ab=ba(交換律). (3)a(b+c)=ab+ac

2、(分配律). 特別提醒:不滿足結(jié)合律(ab)c=a(bc). 1.對于非零向量b,由ab=bc,可得a=c.() 2.對于向量a,b,c,有(ab)c=a(bc).() 3.若非零向量a,b為共線且同向的向量,則ab=|a||b|.(√) 4.對任意向量a,b,滿足|ab|≤|a||b|.(√) 類型一 數(shù)量積的計算 例1 如圖所示,在棱長為1的正四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,求: (1); (2); (3); (4). 考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點 用定義求數(shù)量積 解 (1)= =||||cos〈,〉 =cos 60=.

3、 (2)==||2=. (3)= =||||cos〈,〉 =cos 120=-. (4)=(-) =- =||||cos〈,〉-||||cos〈,〉 =cos 60-cos 60=0. 反思與感悟 (1)已知a,b的模及a與b的夾角,直接代入數(shù)量積公式計算. (2)如果要求的是關(guān)于a與b的多項式形式的數(shù)量積,可以先利用數(shù)量積的運算律將多項式展開,再利用aa=|a|2及數(shù)量積公式進行計算. 跟蹤訓練1 已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E為側(cè)面AB1的中心,F(xiàn)為A1D1的中點.試計算: (1);(2);(3). 考點 空間向量數(shù)量積的

4、概念及性質(zhì) 題點 用定義求數(shù)量積 解 如圖,設(shè)=a,=b, =c,則|a|=|c|=2,|b|=4, ab=bc=ca=0. (1) =b=|b|2=42=16. (2)=(a+c)=|c|2-|a|2 =22-22=0. (3)= =(-a+b+c)=-|a|2+|b|2=2. 類型二 利用數(shù)量積證明垂直問題 例2 (1)已知空間四邊形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,那么AD與BC的位置關(guān)系為___________________________________________________.(填“平行”“垂直”) 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 

5、數(shù)量積的綜合應(yīng)用 答案 垂直 解析 ∵=(+)(-) =+-2- =(--)==0, ∴AD與BC垂直. (2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC與BD的交點,G為CC1的中點,求證:A1O⊥平面GBD. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 證明 設(shè)=a,=b,=c, 則ab=0,bc=0,ac=0,|a|=|b|=|c|. ∵=+=+(+) =c+a+b, =-=b-a, =+=(+)+ =a+b-c ∴=(b-a) =cb-ca+ab-a2+b2-ba =(b2-a2) =(|b|2-|a|2)=0. 于是⊥

6、,即A1O⊥BD. 同理可證⊥,即A1O⊥OG. 又∵OG∩BD=O,OG?平面GBD,BD?平面CBD, ∴A1O⊥平面GBD. 反思與感悟 (1)證明線線垂直的方法 證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量,根據(jù)方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直. (2)證明與空間向量a,b,c有關(guān)的向量m,n垂直的方法 先用向量a,b,c表示向量m,n,再判斷向量m,n的數(shù)量積是否為0. 跟蹤訓練2 如圖,在空間四邊形OACB中,OB=OC,AB=AC,求證:OA⊥BC. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 證明 因為OB=OC,AB=AC,OA=OA,

7、 所以△OAC≌△OAB, 所以∠AOC=∠AOB. 又=(-)=- =||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=0, 所以⊥,即OA⊥BC. 類型三 利用數(shù)量積解決空間角或兩點間的距離問題 命題角度1 解決角度問題 例3 在空間四邊形OABC中,連接AC,OB,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45,∠OAB=60,求向量與BC所成角的余弦值. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求角 解 ∵=-, ∴=- =||||cos〈,〉-||||cos〈,〉 =84cos135-86cos120=24-16, ∴cos〈,〉 =

8、==. 反思與感悟 求兩個空間向量a,b夾角的方法類同平面內(nèi)兩向量夾角的求法,利用公式cos〈a,b〉=,在具體的幾何體中求兩向量的夾角時,可把其中一個向量的起點平移至與另一個向量的起點重合,轉(zhuǎn)化為求平面中的角度大小問題. 跟蹤訓練3 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線A1B與AC所成的角. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求解 解 不妨設(shè)正方體的棱長為1, 設(shè)=a,=b,=c, 則|a|=|b|=|c|=1, ab=bc=ca=0, =a-c,=a+b. ∴=(a-c)(a+b) =|a|2+ab-ac-bc=1, 而||=||

9、=, ∴cos〈,〉==, ∵〈,〉∈[0,180], ∴〈,〉=60. 又異面直線所成角的范圍是(0,90], 因此,異面直線A1B與AC所成的角為60. 命題角度2 求空間中的兩點間的距離 例4 如圖,正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱長都為2,E,F(xiàn)分別是AB,A1C1的中點,求EF的長. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求線段長 解 設(shè)=a,=b,=c. 由題意,知|a|=|b|=|c|=2, 且〈a,b〉=60,〈a,c〉=〈b,c〉=90. 因為=++ =-++ =-a+b+c, 所以||2=2 =a2+

10、b2+c2+2 =22+22+22+222cos 60 =1+1+4-1=5, 所以||=,即EF=. 反思與感悟 求解距離問題時,先選擇以兩點為端點的向量,將此向量表示為幾個向量和的形式,求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模,利用公式|a|=求解即可. 跟蹤訓練4 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90,∠BAA1=∠DAA1=60,求AC1的長. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求線段長 解 因為=++, 所以=(++)2 =2+2++2(++). 因為∠BAD=90,∠BAA1=∠DAA1=60

11、, 所以=1+4+9+2(13cos 60+23cos 60)=23. 因為=||2, 所以||2=23, 則||=,即AC1=. 1.對于向量a,b,c和實數(shù)λ,下列說法正確的是(  ) A.若ab=0,則a=0或b=0 B.若λa=0,則λ=0或a=0 C.若a2=b2,則a=b或a=-b D.若ab=ac,則b=c 考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點 數(shù)量積的性質(zhì) 答案 B 解析 結(jié)合向量的運算,只有B正確. 2.已知向量a,b是平面α內(nèi)的兩個不相等的非零向量,非零向量c是直線l的一個方向向量,則“ca=0且cb=0”是“l(fā)⊥α”的(  ) A.充分

12、不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 答案 B 解析 若a∥b,則不一定得到l⊥α,反之成立. 3.已知|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=60,則|2a-3b|等于(  ) A. B.97 C. D.61 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求線段長 答案 C 解析 |2a-3b|2=4a2-12ab+9b2 =422-1223cos60+932=61, ∴|2a-3b|=. 4.已知a,b為兩個非零空間向量,若|a|=2,|b|=,ab=-,則〈a,b〉=______

13、__. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求角 答案  解析 cos〈a,b〉==-,∵〈a,b〉∈[0,π], ∴〈a,b〉=. 5.已知正四面體ABCD的棱長為2,E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點,則EF的長為________. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求線段長 答案  解析 ||2=2=(++)2 =2+2+2+2(++) =12+22+12+2(12cos120+0+21cos120)=2, ∴||=,∴EF的長為. 1.空間向量運算的兩種方法 (1)利用定義:利用ab=|a||b|cos〈a,b〉并結(jié)合運算律進行計算. (

14、2)利用圖形:計算兩個數(shù)量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點,利用圖形尋找夾角,再代入數(shù)量積公式進行運算. 2.在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟 (1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式. (2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積. (3)代入ab=|a||b|cos〈a,b〉求解. 一、選擇題 1.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,則a+b與a-b之間的關(guān)系是(  ) A.垂直 B.共線 C.不垂直 D.以上都可能 考點 空間向量數(shù)量積的概念與性質(zhì) 題點 數(shù)量積的性質(zhì) 答案 A 解析 由題意知|a|=|b|, ∵(a

15、+b)(a-b)=|a|2-|b|2=0, ∴(a+b)⊥(a-b). 2.已知向量a,b滿足條件:|a|=2,|b|=,且a與2b-a互相垂直,則〈a,b〉等于(  ) A.30 B.45 C.60 D.90 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求角 答案 B 解析 根據(jù)a(2b-a)=0, 即2ab=|a|2=4, 解得ab=2, 又cos〈a,b〉===, 又〈a,b〉∈[0,180], ∴〈a,b〉=45,故選B. 3.若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R且λ,μ≠0),則(  ) A.m∥n B.m⊥n C.m不平行于n,

16、m也不垂直于n D.以上三種情況都有可能 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 答案 B 4.設(shè)平面上有四個互異的點A,B,C,D,已知(+-2)(-)=0,則△ABC一定是(  ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形 考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點 用定義求數(shù)量積 答案 B 解析 由(+-2)(-) =(-+-)(-) =(+)(-) =||2-||2=0,得||=||, 故△ABC為等腰三角形. 5.已知a,b,c是兩兩垂直的單位向量,則|a-2b+3c|等于(  ) A.14B.C.4D.2 考點 

17、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求線段長 答案 B 解析 ∵|a-2b+3c|2=|a|2+4|b|2+9|c|2-4ab+6ac-12bc=14, ∴|a-2b+3c|=. 6.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,下列向量的數(shù)量積一定不為0的是(  ) A. B. C. D. 考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點 數(shù)量積的性質(zhì) 答案 D 解析 選項A,當四邊形ADD1A1為正方形時,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,所以AD1⊥B1C,此時有=0; 選項B,當四邊形ABCD為正方形時,可得AC⊥BD, 又AC⊥BB1,BD∩BB1=B, 可得AC⊥平

18、面BB1D1D,故有AC⊥BD1, 此時=0; 選項C,由長方體的性質(zhì)可得AB⊥平面ADD1A1, 所以AB⊥AD1,所以=0,故選D. 7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列命題: ①(++)2=32;②(-)=0;③與的夾角為60. 其中真命題的個數(shù)為(  ) A.1B.2C.3D.0 考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點 數(shù)量積的性質(zhì) 答案 B 解析?、佗谡_;∵與的夾角為120, ∴③不正確,故選B. 二、填空題 8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則=________. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 數(shù)量積的綜合應(yīng)用

19、答案 a2 解析 如圖,=-, =-=-, ∴ =(-)(-) =--+||2 =0-0-0+a2=a2. 9.已知空間向量a,b,|a|=3,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135,若m⊥n,則λ的值為________. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 答案 - 解析 由題意知ab=|a||b|cos〈a,b〉=35=-15, 由m⊥n,得(a+b)(a+λb)=0, 即|a|2+λab+ab+λ|b|2 =18-15(λ+1)+25λ=0. 解得λ=-. 10.已知a,b是空間兩個向量,若|a|=2,|b|=2,|a

20、-b|=,則cos〈a,b〉=________. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求角 答案  解析 將|a-b|=化為(a-b)2=7,求得ab=, 再由ab=|a||b|cos〈a,b〉,求得cos〈a,b〉=. 11.已知a,b均為單位向量,它們的夾角為60,那么|a+3b|=________. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求線段長 答案  解析 ∵|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6ab+9b2 =1+6cos60+9=13, ∴|a+3b|=. 三、解答題 12.如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠

21、ACB=90,D,E分別為棱AB,BB′的中點. (1)求證:CE⊥A′D; (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求角 (1)證明 設(shè)=a,=b,=c, 根據(jù)題意得|a|=|b|=|c|, 且ab=bc=ca=0, ∴=b+c, =-c+b-a, ∴=-c2+b2=0, ∴⊥,即CE⊥A′D. (2)∵=-a+c, ||=|a|,||=|a|, =(-a+c)=c2=|a|2, ∴cos〈,〉==, 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為. 13.等邊△ABC中,P在線段AB上,且=λ,若=,則實數(shù)λ的

22、值為________. 考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì) 題點 空間向量數(shù)量積定義 答案 1- 解析 如圖,=-+=-+λ, 故=(λ-) =λ||2-||||cos A, =(-λ)(1-λ)=λ(λ-1)||2, 設(shè)||=a(a>0),則a2λ-a2=λ(λ-1)a2, 解得λ=1-. 四、探究與拓展 14.已知BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90的等腰直角三角形,平行四邊形ABB1A1,平行四邊形BB1C1C的對角線都分別相互垂直且相等,若AB=a,則異面直線BA1與AC所成的角為________. 考點 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點 利用數(shù)量積求角 答案 60 解析 如圖所示,∵=+,=+, ∴=(+)(+) =+++. ∵AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC, ∴=0,=0,=0且=-a2. ∴=-a2. 又=||||cos〈,〉, ∴cos〈,〉==-. 又∵〈,〉∈[0,180],∴〈,〉=120, 又∵異面直線所成的角是銳角或直角, ∴異面直線BA1與AC所成的角為60.

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