3、2=4和（x —4）2 + y2=1上的點，則
|PM-| PN的最大值為 ^
【答案】5
【解析】已知兩圓的圓心（-4,0）和（4,0）（記為E和F2）恰為雙曲線x2—上=1的兩焦點. 15
當| PM最大,| PN最小時，| P用| PN最大,1 PM最大值為 P到圓心F1的距離| PF11與圓F1半徑之和，同樣
12
1PN 最小=1 PF2I-1，從而(I PM-I PN)max=l PFi|+2-(| PF2|-1)=| PFil-l PF2|+3=2a+3=5.
2
4
2
y_=i有兩個交點，則直線i的斜率的取值范圍是 3
4.過原點的直線l與雙曲線
4、得1x2
4
k2 2
^x2 =1
3
由△ A0知「更＜k〈烏. 2 2
2
5.已知雙曲線方程：X2 -當=1.則以A（2,1）為中點的弦所在直線l的方程是 3
【答案】6x-y-11=0
P(X .y1)和Q(X2 .y) .
【解析】設(shè)l與雙曲線交于
②-①,得(x2 +x1)(x2 — X1)
—1(y2 + y1)(y2 — y1)=0 ?而 x1 +x2 =4.y〔 +y2 =2. 3
4(x2 -為)-2(y2 -y1)=0.
3
=6 .即 K=6.
x2 -Xi
???點A(2,1)在雙曲線的內(nèi)部,
，直線 l 的方程為 y-1=6(
5、x-2),即 6x-y-11=0.
課后作業(yè)夯基 基礎(chǔ)鞏固
1. AB為過橢圓
2 v2
、+ —2~ =1中心的弦，F(xiàn)（ c,0）為該橢圓的焦點
a b
，則4FAB的最大面積為（）
A. b2
B. ab
C. ac
D.bc
【解析】設(shè)A、
B兩點的坐標為（x1.y1）、（—x1 ,—y1）.則 S fab
=2 Io用 2y1|=c| y1| Ebc.
6、
2 .過雙曲線x2-y2 =4上任一點 M作它的一條漸近線的垂線段 ，垂足為 NO是坐標原點，則△OMNB勺面積是
()
A.1
【答案】A
B.2
C.3
D.不確定
【解析】過雙曲線上任一點 M (x0 .y0)作漸近線y = x的垂線，垂足分別為N N.
| MN | MN I =
xo —y I X - yo
=2 = 2,故 SOMN = 1 .
3 .雙曲線X2 -y2 =1的左焦點為F,點P為其左支下半支上任意一點 (異于頂點)，則直線PF的斜率的變化范圍
B. （1.二）
是()
A.（
7、-二.0）
C.（-二 0） -（1.二）
【答案】C
【解析】數(shù)形結(jié)合法，與漸近線斜率比較.可得答案為C.
4 .拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，而且被直線 2x-y+1=0所截得的弦長等于 J15 .則拋物線的方程是
A.
2 .
=-12x 或 y =4x
B.
2
=-4x 或 y =12 x
C.
2
=-10x 或 y =4x
D.
2
=-6x或 y =10x
【解析】設(shè)所求拋物線為 y2 = ax(a w r且a 0 0).
2
, y = ax / 口 2
由 4 得2y—ay+a = 0.
2x-y 1=0
8、若弦兩端點縱坐標分別為 y［和y2 .則| y1 - y2 | =-^Va2 -8a .
于是弦長=—Ja2 -8a = ^15 .解得 a=12 或 a=-4.
4
5 .已知焦點為Fi(-2 .0) F2Q 0)的橢圓與直線l : x+y-9=0有公共點，則橢圓長軸長的最小值是()
A. -.170
B.170
C. 70
【答案】A
2 2
-4 .
【解析】方法一：依題意，設(shè)橢圓方程為＞0),且c=2,則b2=a2 a b
將橢圓方程與直線方程聯(lián)立，得
■ 2 2
與丹」1
a a -4
x y -9 =0
消去參數(shù)y,整理得
(2a2
9、 -4)x2 -18a2x 85a2 -a4 = 0.
因為直線l與橢圓有公共點，所以A20.
即(18a2)2 -4(2a2 -4)(85a2 -a4) _0
整理得 2a4 -93a2 340 _0.
解得a2之85或a2 W 4(舍去),
2a _ . 170
即橢圓長軸長的最小值為 .170 .
方法二：如圖，可設(shè)P為橢圓與直線
l 的公共點，則 | PF1|+| PF2|=2a,
所以問題轉(zhuǎn)化為當 P在l上運動時，求| PF11+| PF2|的最小值.
作F2關(guān)于l的對稱點F2函法),則
7A2(-1) =-1
4 x0 解
10、得
j 血-9=0.
2 2
x0 =9
0 即 F2 (9,7).
.y。=7
所以 | PF1|+| PF2|二| PF1|+| PF2 I " F1F2 I = J(9+2)2 +72 =7170.
即橢圓長軸長的最小值為 、170.
2 2
y=4x+m對稱，則實數(shù)
m的取值范圍是
6.已知橢圓++_y_=1若在此橢圓上存，在不同白^兩點 A B關(guān)于直線 4 3
()
2 13 2.13
8（一。廿
【解析】設(shè)A(Xi,yi),B(X2.y2).AB的中點為M(x,y),
y2—yi 22 _一 _ 22
由題思知kAB =-——乙=—
11、1 X+X2 =2x.yi+丫2 =2y.3xi+4yi =12 ①.3x2+4y2 =12 ②.①②兩
x2 -x1 4
2 2. ., 2 2、 _ 一. ... . .一 一 .一一
式相減付 3(x2 一 X ) +4( y2 - yi) = 0 .即 yi + y2 = 3( x1十 x2).即 y=3x,與 y=4x+mfbr得 x=- m y=-3 m 而 M x, y)
在橢圓白^內(nèi)部，則m2+呼 <1.即—2133 Mm <第3.
7.當x>1時，直線y=ax- a恒在拋物線y = x2的下方，則a的取值范圍是 ^
【答案】(_：：. 4)
2 2
一人一 ，
12、一一 ，r — 一 一、， 、 y = x - q，，i 9 . 9
【斛析】由題息聯(lián)立 , 整理可得x -2*十2=0.由^=2 —4a = 0 .解得a=0或a=4,此時直線與
y =ax-a.
拋物線相切，因為直線橫過定點(1,0),結(jié)合圖形可知當a w (q. 4) .x > 1時直線y=ax- a恒在拋物線y = x2的
下方.
8 .已知直線l與橢圓x2+2y2=2交于P、P2兩點，線段RP2的中點為P,設(shè)直線l的斜率為ki(ki=0) .直線
OP的斜率為k2 .則k1k2的值等于 ^
【答案】-1 2
【解析】設(shè) F^(x1 y1) P2(x2 y2).
則
13、P（Y 1） k2 二代心 kkk2
2 2
V2 — yi
2 2
& -xi
2 2
由產(chǎn)2y1
X2 +2y；
2 ,相減得 y2 - yj = 一工（x； -x2）.
=2 2
故 kk =-2.
9 .已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點 ，焦點在x軸上，左、右焦點分別為 F1、F2 .且它們在第一象限
的交點為 P, △pf〔f2是以PF1為底邊的等腰三角形.若| PF1|=10,雙曲線的離心率的取值范圍為 (1,2),則
該橢圓的離心率的取值范圍是
【答案】(1 2)
(3 5)
【解析】設(shè)它們的焦距為
2c,則 |
PF
14、2l=l F1F2 |=2c,雙曲線的離心率 e =
2c
10 -2c 5-c
.由
5-c
W (12)得
5 10
-0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于 A,B兩點,A,B在x軸上的正射影分別
為D,C.若梯形ABCD勺面積為12J2,則p= .
【答案】2
【解析】拋物線的焦點為 (04).設(shè)A(x ) Ed牝) .直線AB的方程為y— = xW y=x+~p.
聯(lián)立［y=x+會消去
x2 =2p
15、y .
y,得 x2 -2 px - p2 = 0 .
? ? x =(1 、2)px2 =(1-、、2)p.
y〔 y2 " x2 =2p p =3p | CD=| 為 一 x2| =2 2p. 由 S梯形ABCD =1(|AD+| BC) CD =2 3p 2、2P = 12.2 解得 p2 =4 p = 2.
1 .- p>0, p=2.
2
11 .已知點A(0,2)和拋物線C: y =6x.求過點A且與拋物線C相切的直線l的方程.
? , ，、一 、八、一， ,,, ，、一 …一， y = kx2
【解】設(shè)直線l的方程為y=kx+2，這個方程與拋物線 C的方程聯(lián)
16、立，得方程組4y 2
y = 6x
當k=0時，由方程組得6x =4.x .可知此時直線l與拋物線相交于點(2 .2).
3 3
當k #0時，由方程組消去x,得方程
, 2 一 一一
ky -6y 12 = 0.(*)
關(guān)于y的二次方程(*)的判別式△ =36-48k .由△ =0,得k=3 .可知此日^直線l與拋物線C有一個公共點 4
即它們相切.直線l的方程為3x-4y+8=0.
當直線l的斜率不存在時，直線l就是y軸，其方程為x=0.
所以，直線l的方程為3x-4y+8=0,或x=0.
12 .已知橢圓 x_+4=i(a >b >0)的一個焦點在直線l：x=i上，
17、其離心率e = 1.設(shè)P、Q為橢圓上不同的兩
a2 b2 2
點，且弦PQ勺中點T在直線l上，點R(14 .0).
(1)求橢圓的方程；
(2)試證：對于所有滿足條件的 P、Q恒有| RP=| RQ
【解】(1)橢圓的一個焦點在直線 l :x=1上，所以c=1.
又因為離心率e = l jp c =1 .所以a=2,從而b2=3l
2 a 2
所以橢圓的方程為 W-=1. 4 3
(2)證明：設(shè) T(1 ,y。)P(x1 M) Q(x2 皿).
則 RT =(3 y。)PQ =(x2 -x〔 y2 -y1)
3
RT PQ =3(x2 -x1)y(y2 -y)
又因為
18、P Q都在橢圓 "+貴=1上 4 3
2 2 2 2
所以~a +y~=1與+多=1兩式相減得 4 3 4 3
1(x1 -x2)(x[ "2) 1(y1 -y2)(y1 72) =0 4 3
因為點T是PQ的中點，所以x1 +x2 - 2 .y1 + y2 - 2yo.
于是 1(x1 -x2) 2y0(y1 一y2) 二0 2 3
所以 3(x1 W) y0(y1 -y2) =0 4
T — T T
即RT PQ =0,所以RT _L PQ ,即RT是線段PQ勺垂直平分線，所以恒有| RP=| RQ
2 2
13.已知橢圓Ci：與+冬=1(a >b >0)的右頂點為
19、A(l,0),過Ci的焦點且垂直長軸的弦長為 1.
a b
⑴求橢圓Ci的方程.
(2)設(shè)點P在拋物線C2 :
2
y=x2+h( hWR)上C2在點P處的切線與C1交于點MN當線段AP的中點與MN的
中點的橫坐標相等時，求h的最小值.
b =1
【解】(1)由題意.,得，b
a
a = 2
從而
b =1
2
因此，所求的橢圓方程為 二+x2 =1.
4
2
(2)設(shè) M(X .y1).N(x2 .y2) .P(t t +h),
則拋物線C2在點p處的切線斜率為y I x生
=2t.
2 .
直線MN勺方程為y=2tx-t h I
20、將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2+(2tx—t2+h)2—4 = 0.
即 4(1 +t2)x2 -4t(t2 -h)x +(t2 -h)2 -4=0.①
因為直線 MNW橢圓Ci有兩個不同的交點， 所以①式中的
△1 =16[T4 +2(h +2)t2 -h2 +4] >0. ②
設(shè)線段MN勺中點的橫坐標是 x3 .則
，，，2 ,、
Xi X2 t(t -h)
x3 =^=2TT5.
設(shè)線段PA的中點的橫坐標是 x4 .則x4 = 吟.
由題意，得x3 = x4.
即 t2 +(1 +h)t + 1=0.③
由③式中的 42 =(1+h)2 —4之0.得h之1
21、.或h 3.
當 h 時,h +2 <04-h2 <0.
則不等式②不成立，所以h至1.
當h=l時,代入方程③得t=-1,
將h=1,t=-1代入不等式②，檢驗成立.
所以,h的最小值為1.
拓展延伸
14.(2012江西宜春三校聯(lián)考)已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為〈.且橢圓E上一點到兩
個焦點距離之和為 4啟的是過點P(0,2)且互相垂直的兩條直線 E交E于A,B兩點 八交E于C,D兩點，AB CD
的中點分別為MN
(1)求橢圓E的方程；
(2)求11的斜率k的取值范圍；
T T
⑶求OM ON的取值范圍.
【解】(1)設(shè)橢圓方程為《+*=
22、1但>b >0), a b
c = 1
a 2 -
由 2a =4
2 .2 . 2
a =b +c
橢圓方程為x2 y-
4 3
=1.
(2)由題意知，直線|1的斜率存在且不為零
?1 11: y=kx+2, I2: y = _1x +2 .
k
2 V2 x . y 1
由《彳至一1 .消去y并化簡整理，
y =kx 2
得(3 4k2)x2 16kx 4 =0.
根據(jù)題意 4=(16k)2 -16(3+4k2) >0 .解得 k2 >1
4
同理得T)2.4必4
- 4 二 k2 :二4 k (一2 -1) .. (2 .2).
⑶設(shè) A
23、(x1 ,y1) B(x2 j2)M(X0 %),
那么x1 x2 -
16k
yo = kxo 2 =
3 4k2
6
x1 x2
8k
同理得N(
即N(」
2
3 4k2
2
8k
2
3 4k2
3 4k2
2
3 4 k2
).
-8( -1)
3 4(-1)2 3 4(-1)2 k k
)?
4
k2
OM ON
8k
3 4k2 3
k __6
A 3 4k2 k2
28
3 -4 k2
25 12(k2 j)
1
【贏在高考】2013屆高考數(shù)學一輪復習9.9直線與圓錐曲線的位置關(guān)配套練習
