高考數學浙江理科一輪【第三章】導數及其應用 第三章 3.6

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1、 精品資料 3.6　正弦定理、余弦定理及解三角形 1． 正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則 定理 正弦定理 余弦定理 內容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)asin

2、B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2． S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)r(r是三角形內切圓的半徑)，并可由此計算R、r. 3． 在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關系式 a＝bsin A bsin Ab 解的個數 一解 兩解 一解 一解 4． 實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標

3、視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖①)． (2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等． (3)方位角 指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)． (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值． 1． 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B． (　√　) (2)若滿足條件C＝60，AB＝，BC＝a的△ABC有兩個，那么a的取值范圍是(，2)． (　√　) (3)若△ABC中，acos

4、B＝bcos A，則△ABC是等腰三角形． (　√　) (4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形． (　　) (5)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為α＋β＝180. (　　) 2． (2013湖南)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b，若2asin B＝b，則角A等于 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在△ABC中，利用正弦定理得 2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝. 又A

5、為銳角，∴A＝. 3． (2013陜西)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為 (　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 答案　B 解析　由bcos C＋ccos B＝asin A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由0

6、析　由正弦定理知＝＝， ∴AB＝2sin C，BC＝2sin A. 又A＋C＝120，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120－C) ＝2(sin C＋2sin 120cos C－2cos 120sin C) ＝2(sin C＋cos C＋sin C) ＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)， 其中tan α＝，α是第一象限角， 由于0＜C＜120，且α是第一象限角， 因此AB＋2BC有最大值2. 5． 一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為_

7、_____ km. 答案　30 解析　如圖所示，依題意有 AB＝154＝60，∠MAB＝30，∠AMB＝45， 在△AMB中， 由正弦定理得＝， 解得BM＝30 (km)． 題型一　正、余弦定理的簡單應用 例1　(1)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，則A等于 (　　) A．30 B．60 C．120 D．150 (2)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，則sin B＋sin C的最

8、大值為 (　　) A．0 B．1 C. D. 思維啟迪　(1)由sin C＝2sin B利用正弦定理得b、c的關系，再利用余弦定理求A. (2)要求sin B＋sin C的最大值，顯然要將角B，C統(tǒng)一成一個角，故需先求角A，而題目給出了邊角之間的關系，可對其進行化邊處理，然后結合余弦定理求角A. 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)∵sin C＝2sin B，由正弦定理得c＝2b， ∴cos A＝＝＝＝， 又A為三角形的內角，∴A＝30. (2)已知2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C， 根據正弦定理，得2

9、a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 故cos A＝－，又A為三角形的內角，∴A＝120. 故sin B＋sin C＝sin B＋sin(60－B)＝cos B＋sin B＝sin(60＋B)， 故當B＝30時，sin B＋sin C取得最大值1. 思維升華　(1)在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不

10、明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到． (2)解題中注意三角形內角和定理的應用及角的范圍限制． 　(1)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cos C等于 (　　) A. B．－ C． D. (2)已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，則角A的大小為________． 答案　(1)A　(2) 解析　(1)由正弦定理＝， 將8b＝5c及C＝2B代入得＝， 化簡得＝， 則cos B＝， 所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2()

11、2－1＝，故選A. (2)∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝. 由正弦定理知：sin A＝＝， 又a

12、C＝0. 因為B＝π－A－C， 所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. 由于sin C≠0，所以sin＝. 又0

13、n C＋sin(B－A)＝sin 2A，試判斷△ABC的形狀． 解　(1)∵c＝2，C＝， ∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得a2＋b2－ab＝4. 又∵△ABC的面積為，∴absin C＝，ab＝4. 聯立方程組解得a＝2，b＝2. (2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A， 得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A， 即2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A(sin A－sin B)＝0， ∴cos A＝0或sin A－sin B＝0， 當cos A＝0時，∵0

14、 當sin A－sin B＝0時，得sin B＝sin A， 由正弦定理得a＝b， 即△ABC為等腰三角形． ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 題型三　解三角形的實際應用 例3　某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45，距離為10 n mile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105的方向，以9 n mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間． 思維啟迪　本題中所涉及的路程在不斷變化，但艦艇和漁輪相遇時所用時間相等，先設出所用時間t，找出等量關系，然后解三角

15、形． 解　如圖所示，根據題意可知AC＝10，∠ACB＝120，設艦艇靠近漁 輪所需的時間為t h，并在B處與漁輪相遇，則AB＝21t，BC＝9t，在 △ABC中，根據余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 120，所以 212t2＝102＋92t2＋2109t，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所 以艦艇靠近漁輪所需的時間為 h．此時AB＝14，BC＝6. 在△ABC中，根據正弦定理得＝， 所以sin∠CAB＝＝， 即∠CAB≈21.8或∠CAB≈158.2(舍去)． 即艦艇航行的方位角為45＋21.8＝66.8. 所以艦艇以66.8的

16、方位角航行，需 h才能靠近漁輪． 思維升華　求解測量問題的關鍵是把測量目標納入到一個可解三角形中，三角形可解，則至少要知道這個三角形的一條邊長．解題中注意各個角的含義，根據這些角把需要的三角形的內角表示出來，注意不要把角的含義弄錯，不要把這些角與要求解的三角形的內角之間的關系弄錯． 　在斜度一定的山坡上的一點A測得山頂上一建筑物頂 端對于山坡的斜度為15，如圖所示，向山頂前進100 m后，又從B 點測得斜度為45，設建筑物的高為50 m．求此山對于地平面的斜 度θ的余弦值． 解　在△ABC中，∠BAC＝15，∠CBA＝180－45＝135，AB＝100 m， 所以∠ACB＝30.

17、 由正弦定理，得＝，即BC＝. 在△BCD中，因為CD＝50，BC＝，∠CBD＝45，∠CDB＝90＋θ， 由正弦定理，得＝，解得cos θ＝－1. 因此，山對地面的斜度θ的余弦值為－1. 代數式化簡或三角運算不當致誤 典例：(14分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀． 易錯分析　(1)從兩個角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補情形； (2)代數運算中兩邊同除一個可能為0的式子，導致漏解； (3)結論表述不規(guī)范． 規(guī)范解答 解　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A

18、＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos Bb2＝2cos Asin Ba2， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B． [6分] 方法一　由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. [10分] 在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π， ∴2A＝2

19、B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC為等腰或直角三角形． [14分] 方法二　由正弦定理、余弦定理得： a2b＝b2a， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， [10分] ∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a＝b或a2＋b2＝c2. ∴△ABC為等腰或直角三角形． [14分] 溫馨提醒　(1)判斷三角形形狀要對所給的邊角關系式進行轉化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶尤缓笈袛啵蛔⒁獠灰p易兩邊同除以一個式子． (2)在判斷三角形形狀時

20、一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件．另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數值的影響. 方法與技巧 1． 應熟練掌握和運用內角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互補和互余的情況，結合誘導公式可以減少角的種數． 2． 正、余弦定理的公式應注意靈活運用，如由正、余弦定理結合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin Bsin Ccos A，可以進行化簡或證明． 3． 合理利用換元法、代入法解決實際問題． 失誤與防范 1． 在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現一解、兩解，所以要進行分類討論． 2．

21、利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內角和定理對角的范圍的限制．  A組　專項基礎訓練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1． 在△ABC，已知∠A＝45，AB＝，BC＝2，則∠C等于 (　　) A．30 B．60 C．120 D．30或150 答案　A 解析　在△ABC中，＝，∴＝， ∴sin C＝，又AB

22、　依題意得0，于是有cos B<0，B為鈍角，△ABC是鈍角三角形． 3． (2012湖南)△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60，則BC邊上的高等于 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設AB＝a，則由AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(負值舍去)． ∴BC

23、邊上的高為ABsin B＝3＝. 4． (2013遼寧)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則∠B等于 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由條件得sin Bcos C＋sin Bcos A＝， 依正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝， ∴sin(A＋C)＝，從而sin B＝， 又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝. 5． 在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cos A＝，則△AB

24、C的面積等于 (　　) A. B. C. D．3 答案　C 解析　∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0， 即(b＋c)(b－2c)＝0，∴b＝2c. 又a＝，cos A＝＝，解得c＝2，b＝4. ∴S△ABC＝bcsin A＝42 ＝. 二、填空題 6． (2013安徽)設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝ 5sin B，則角C＝________. 答案　 解析　由已知條件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a， 則a＝，c＝2a－b＝ cos C＝＝－，又0

25、，因此角C＝. 7． 在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，則a＝________. 答案　2 解析　由tan A＝2得sin A＝2cos A. 又sin2A＋cos2A＝1得sin A＝. ∵b＝5，∠B＝， 根據正弦定理，有＝， ∴a＝＝＝2. 8． 如圖，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在點A的同側的河岸邊 選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105， 則A，B兩點的距離為________． 答案　50 m 解析　由正弦定理得＝， 所以AB＝＝＝50. 三、解答題 9． (2013北京)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠

26、B＝2∠A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 解　(1)在△ABC中，由正弦定理 ＝?＝＝， ∴cos A＝. (2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A?32＝(2)2＋c2－22c 則c2－8c＋15＝0. ∴c＝5或c＝3. 當c＝3時，a＝c，∴A＝C. 由A＋B＋C＝π，知B＝，與a2＋c2≠b2矛盾． ∴c＝3舍去．故c的值為5. 10．(2013江西)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大??； (2)若a＋c＝1，求b的取值范圍． 解　(1

27、)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0， 即有sin Asin B－sin Acos B＝0， 因為sin A≠0，所以sin B－cos B＝0， 即cos B＝sin B. 因為00， 所以cos B>0， 所以tan B＝， 即B＝. (2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 因為a＋c＝1，cos B＝， 所以b2＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32 ＝(a＋c)2＝， ∴b≥. 又a＋c>b，∴b<1，∴≤b<1. B組　專項能力提升 (時間：30分鐘) 1． △A

28、BC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，則等于 (　　) A．2 B．2 C. D. 答案　D 解析　∵asin Asin B＋bcos2A＝a， ∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A， ∴sin B＝sin A，∴＝＝. 2． 有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為(　　) A．1 B．2sin 10 C．2cos 10 D．cos 20 答案　C 解析　如圖，∠ABC＝20， AB＝1，

29、∠ADC＝10， ∴∠ABD＝160. 在△ABD中，由正弦定理得＝， ∴AD＝AB＝＝2cos 10. 3． (2013浙江)在△ABC中，∠C＝90，M是BC的中點．若sin∠BAM＝，則sin∠BAC＝________. 答案　 解析　因為sin∠BAM＝，所以cos∠BAM＝.如圖，在△ABM中，利用 正弦定理，得＝，所以＝＝＝. 在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由題意知BM＝CM， 所以＝sin(∠BAC－∠BAM)． 化簡，得2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1. 所以＝1，解得tan∠BAC＝. 再結合s

30、in2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC為銳角可解得sin∠BAC＝. 4． (2012江西)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a. (1)求證：B－C＝； (2)若a＝，求△ABC的面積． (1)證明　由bsin－csin＝a，應用正弦定理，得sin Bsin－ sin Csin＝sin A， sin B－sin C ＝， 整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1， 即sin(B－C)＝1. 由于0

31、n ，c＝＝2sin ， 所以△ABC的面積S＝bcsin A＝sin sin ＝cos sin ＝. 5． 已知△ABC的三個內角A，B，C成等差數列，角B所對的邊b＝，且函數f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－在x＝A處取得最大值． (1)求f(x)的值域及周期； (2)求△ABC的面積． 解　(1)因為A，B，C成等差數列， 所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π， 所以B＝，即A＋C＝. 因為f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－ ＝(2sin2x－1)＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x ＝2sin， 所以T＝＝π. 又因為sin∈[－1,1]， 所以f(x)的值域為[－2,2]． (2)因為f(x)在x＝A處取得最大值， 所以sin＝1. 因為0