《2019高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破——概率：幾何概型學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破——概率：幾何概型學(xué)案（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 幾何概型 【考點(diǎn)梳理】 1 幾何概型的定義 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度 (面積或體積)成比例，則稱這樣的概 率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型. 2. 幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1) 無限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè). (2) 等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. 3. 幾何概型的概率公式 _ 構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積 _ P(A)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積 . 【考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)一、與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型 C,現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段 AC ) A. 線段BC有公共點(diǎn)的概率為 1 答案(1) C (2) 3 解析(1
2、) 設(shè)|AC = x，則 I BC = 12-X,所以x(12 x)20，解得 2x10,故所求概率 P 10 2 2 12 = 3. (2)以A為圓心，以AD= 1 為半徑作圓弧 D3 交AC AR AB分別為C, P, B . 依題意，點(diǎn)P在三 D 上任何位置是等可能的， 且射線AP與線段BC有公共點(diǎn)，則事件“點(diǎn) 【例 1 (1)在長(zhǎng)為 12 cm 的線段AB上任取一點(diǎn) CB的長(zhǎng)，則該矩形的面積大于 20 cm2的概率為( C. 2 3 如圖所示，四邊形 4 D.- 5 ABCD 矩形，AB= 3, BC= 1,在/ DA餉作射線AR則射線AP與 2 P在m c 上發(fā)生”.3 _ n 又在
3、 Rt ABC中，易求/ BAC=Z B AC =. 6 1 I 6 p= C = - | n ! H 7 】 【類題通法】 1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍, 且點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用“線段長(zhǎng)度”為測(cè)度計(jì)算概率，求解的核心是確定點(diǎn)的邊界位 置. 2.當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)的大小作為區(qū)域度 量來計(jì)算概率事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，曲線弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比. 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1. 某公司的班車在 7: 30, 8: 00, 8: 30 發(fā)車，小明在 7: 50 至& 30 之間到達(dá)發(fā)車站乘 答案B 解析如圖，7
4、: 50 至& 30 之間的時(shí)間長(zhǎng)度為 40 分鐘，而小明等車時(shí)間不超過 10 分 鐘是指小明在 7: 50 至 8: 00 之間或 8: 20 至 8: 30 之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時(shí)間長(zhǎng) 20 1 度之和為 20 分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為 P= 40 = 2.故選 B. 7:50 8:00 8:10 8:20 8i30 n I I I A H C D 2 .如圖所示，在等腰直角三角形 ABC中，過直角頂點(diǎn) C在/ ACB內(nèi)部任作一條射線 CM與 AB交于點(diǎn) M貝U AMAC的概率為 _ . 1 3. 故所求事件的概率 當(dāng)考查對(duì)象為點(diǎn), 坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的
5、，則他等車時(shí)間不超過 1 1 A. B 3 2 2 3 C 3 D 3 10 分鐘的概率是（ Hr B 3 4 答案4 解析過點(diǎn)C作CN交AB于點(diǎn)N,使AN= AC如圖所示.顯然當(dāng)射線CM處在/ ACh內(nèi)時(shí), AMAC 又/ A= 45,所以/ ACN= 67.5。，故所求概率為 P= 69= 4- 考點(diǎn)二、與面積有關(guān)的幾何概型 【例 2】如圖，大正方形的面積是 34，四個(gè)全等直角三角形圍成一個(gè)小正方形，直角三角形 的較短邊長(zhǎng)為 3,向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運(yùn)小花朵， 則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為 （ ） 解析要使該函數(shù)無零點(diǎn)，只需 1 2 A. 17 B .17 4 17 答案B 解析 大正
6、方形的面積34,.大正方形的邊長(zhǎng)是，34,由直角三角形的較短邊長(zhǎng)為 3，得四個(gè)全等直角三角形的直角邊分別是 5 和 3，則小正方形邊長(zhǎng)為 2,面積為 4,.小花朵 落在小正方形內(nèi)的概率為 P=蘭=2 34 17 【例 3】在區(qū)間0 , 1 上任取兩個(gè)數(shù) a, b,則函數(shù)f（x）= x1 2+ ax + b2無零點(diǎn)的概率為（ 3 3 3. 5 1-2x1X 1X1 【類題通法】 1. 與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型, 的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合 2. 解題時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量， 圖形，以便求解 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 解題的關(guān)鍵是對(duì)所求的事件 A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀 把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)， 找
7、到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面 1 如圖，將半徑為 1 的圓分成相等的四段弧， 再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi) （陰影部分）現(xiàn) 在往圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為 （4 A. 1 n 1 B. n 1 C. 1 n 答案A D 冗 6 n 4_ n ,又因?yàn)閳A的面積等于 n X12= n，因此所求的概率等于 - =1. n n 2. 從區(qū)間0 , 1隨機(jī)抽取 2n個(gè)數(shù)X1, X2,xn, y1, y2,y，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)（X1, y, 答案C解析順次連接星形的四個(gè)頂點(diǎn), 則星形區(qū)域的面積等于 （X2, y2），（Xn, yn），其中兩數(shù)的平方和小1 的數(shù)對(duì)共有 m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到 的圓
8、周率 n的近似值為（ 4n A. - B m ) 2n m 4m n 2m n (2)24 3 3. 7 解析如圖，數(shù)對(duì)（Xi, y）（i = 1, 2,，n）表示的點(diǎn)落在邊長(zhǎng)為 1 的正方形OAB（內(nèi) （包 括邊界），兩數(shù)的平方和小于 1 的數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)落在半徑為 1 的四分之一圓（陰影部分）內(nèi)由幾 S fn RR S扇形 4 n m n m ( P= S = R1 2 = ，又 P= n，所以 =n 故 SE方形 R 4 n 4 n 1 6. 【例 5】有一底面半徑為 1、高為 2 的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi) 何概型的概率計(jì)算公式知 4m n . 8 考點(diǎn)三、與體積有
9、關(guān)的幾何概型 【例 4】如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD- ABGD中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在 三棱錐A ABD內(nèi)的概率為 1 答案6 故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于 1 的概率P= 1 3=|.2n 由幾何概型，得 V半球 P1=V柱 X13 * n XI X2 1 解 因?yàn)?1 1 1 VA A.BD= VA A1BD V長(zhǎng)方體 3 3. 9 【類題通法】 對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題， 關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積 （總空間）以及事件的體積（事件 空間），對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件求解. 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1.一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為 3 的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方
10、 體 6 個(gè)表面的距離均大于 1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為 （ ） 1 A. 8 1 B . 6 C 1 .27 3 D .8 答案 C 解析 由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個(gè)正方體的中心為中心， 且棱長(zhǎng)為 1 的小 一 1 正方體內(nèi)這個(gè)小正方體的體積為 1,大正方體的體積為 27,故安全飛行的概率為 P27. 2.在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCDABCD中，點(diǎn)O為底面 ABCD勺中心，在正方體 ABCDABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)0的距離大于 1 的概率為（ ） n n C. 6 D. 1 - 6 答案B 解析設(shè)“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于 1”為事件A 則事件A發(fā)生時(shí)，點(diǎn)P位于以點(diǎn)O為球心，以 1 為半徑的半球的外部. 1 3 V正方體=2 = 8, 4 V半球=3 n 71 2 - 3 n HA* = 23 =1 - 12 A. n 12 10 A. 2 答案C 2 2 a -4b 0,即(a+ 2b)( a- 2b)0,. a- 2b0.作出 0w bw 1,的可行域（如陰影部分所示），易得該函數(shù)無零點(diǎn)的概率 P a- 2b0 隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)0的距離大于 1 的概率為（ ） 1 2 3 A. 3 B - 3 C - 4 D 答案B 解析設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于 1 的概率為P1,
2019高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破——概率：幾何概型學(xué)案
