高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分專項二 專題二 2 第2講　三角恒等變換與解三角形 學(xué)案 Word版含解析

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1、 第 2 講 三角恒等變換與解三角形 年份 卷別 考查內(nèi)容及考題位置 命題分析 2018 卷 利用正、余弦定理求邊或角 T17 1.高考對此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現(xiàn) 2若無解答題，一般在選擇題或填空題各有一題， 主要考查三角恒等變換、 解三角形，難度一般，一般出現(xiàn)在第49題或第1315題位置上 3若以解答題命題形式出現(xiàn)， 主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題， 一般出現(xiàn)在解答題第 17 題位置上，難度中等. 卷 利用余弦定理求邊長 T6 三角恒等變換 T15 卷 倍角公式 T4 三角形的面積公式 T9 2017 卷 正、余弦定理、三角形的面積公式及兩角和的余弦公式 T1

2、7 卷 余弦定理、 三角恒等變換及三角形的面積公式 T17 卷 余弦定理、三角形的面積公式 T17 2016 卷 正、余弦定理、兩角和的正弦公式 T17 卷 誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、給值求值問題 T9 正弦定理的應(yīng)用、誘導(dǎo)公式 T13 卷 正、余弦定理解三角形 T8 三角恒等變換與求值(基礎(chǔ)型) 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( )sin cos cos sin . (2)cos( )cos cos sin sin . (3)tan( )tan tan 1tan tan . 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22sin cos . (2)cos 2cos2sin22c

3、os2112sin2. (3)tan 22tan 1tan2. 三角恒等變換的“四大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45 等 (2)項的分拆與角的配湊：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，() 等 (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次 (4)弦、切互化：一般是切化弦 考法全練 1已知 0，2，tan 2，則 cos4_ 解析：因為 0，2，tan 2， 所以 sin 2 55，cos 55， 所以 cos4cos cos4sin sin4 222 55553 1010. 答案：3 1010 2已知 cos 13，cos(

4、)13，且 ，0，2，則 cos()_ 解析：因為 0，2，所以 2(0，) 因為 cos 13，所以 cos 22cos2179， 所以 sin 2 1cos224 29， 又 ，0，2， 所以 (0，)， 所以 sin() 1cos2（）2 23， 所以 cos()cos2() cos 2cos()sin 2sin() 79134 292 232327. 答案：2327 3已知 sin 352 ，且 sin()cos ，則 tan()_ 解析：因為 sin 35，且2， 所以 cos 45，tan 34. 因為 sin()sin cos cos sin cos ， 所以 tan 12， 所

5、以 tan()tan tan 1tan tan 2. 答案：2 正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用(綜合型) 正弦定理及其變形 在ABC 中，asin Absin Bcsin C2R(R 為ABC 的外接圓半徑)變形：a2Rsin A，sin Aa2R，abcsin Asin Bsin C 等 余弦定理及其變形 在ABC 中，a2b2c22bccos A； 變形：b2c2a22bccos A，cos Ab2c2a22bc. 三角形面積公式 SABC12absin C12bcsin A12acsin B. 典型例題 命題角度一 求解三角形中的角 已知ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b

6、，c，且 bcos Cbsin Ca. (1)求角 B 的大??； (2)若 BC 邊上的高等于14a，求 cos A 的值 【解】 (1)由 bcos Cbsin Ca， 得 sin Bcos Csin Bsin Csin A. 因為 ABC， 所以 sin Bcos Csin Bsin Csin(BC)， 即 sin Bcos Csin Bsin Csin Bcos Ccos Bsin C， 因為 sin C0，所以 sin Bcos B. 因為 B(0，)，所以 B4. (2)設(shè) BC 邊上的高為 AD，則 AD14a. 因為 B4，所以 BDAD14a，所以 CD34a， 所以 AC A

7、D2DC2104a，AB24a. 由余弦定理得 cos AAB2AC2BC22ABAC55. 利用正、余弦定理求三角形的角，常見形式有： (1)已知兩邊及其夾角，先由余弦定理求第三邊，再由正弦定理求角 (2)已知三邊，直接由余弦定理求角 (3)已知兩邊及其中一邊的對角，先由正弦定理求另一邊的對角，再由三角形內(nèi)角和求第三角，注意此類問題有一解、兩解或無解的情況 命題角度二 求解三角形中的邊與面積 如圖所示，在ABC 中，點 D 為 BC 邊上一點，且 BD1，E 為 AC 的中點，AE32，cos B2 77，ADB23. (1)求 AD 的長； (2)求ADE 的面積 【解】 (1)在ABD

8、中，因為 cos B2 77，B(0，)， 所以 sin B 1cos2 B12 772217， 所以 sinBADsin(BADB)217122 77322114. 由正弦定理知ADsin BBDsinBAD，得 ADBDsin BsinBAD121721142. (2)由(1)知 AD2，依題意得 AC2AE3，在ACD 中，由余弦定理得 AC2AD2DC22AD DCcosADC，即 94DC222DCcos3， 所以 DC22DC50，解得 DC1 6(負(fù)值舍去)， 所以 SACD12ADDCsinADC122(1 6)3233 22， 從而 SADE12SACD33 24. 利用余弦

9、定理求邊，一般是已知三角形的兩邊及其夾角利用正弦定理求邊，必須知道兩角及其中一邊，如該邊為其中一角的對邊，要注意解的多樣性與合理性而三角形的面積主要是利用兩邊與其夾角的正弦值求解 對點訓(xùn)練 1(2018 高考全國卷)在平面四邊形 ABCD 中，ADC90 ，A45 ，AB2，BD5. (1)求 cosADB； (2)若 DC2 2，求 BC. 解：(1)在ABD 中，由正弦定理得BDsinAABsinADB. 由題設(shè)知，5sin 452sinADB，所以 sinADB25. 由題設(shè)知，ADB90，所以 cosADB1225235. (2)由題設(shè)及(1)知，cosBDCsinADB25. 在BC

10、D 中，由余弦定理得 BC2BD2DC22 BD DC cosBDC 258252 225 25. 所以 BC5. 2(2018 山西八校第一次聯(lián)考)在ABC 中，a，b，c 分別是內(nèi)角 A，B，C 的對邊，且(ac)2b23ac. (1)求角 B 的大小； (2)若 b2，且 sin Bsin(CA)2sin 2A，求ABC 的面積 解：(1)由(ac)2b23ac，整理得 a2c2b2ac， 由余弦定理得 cos Ba2c2b22acac2ac12， 因為 0B0， 所以 sin B2sin Bcos C，所以 cos C12. 因為 C(0，)，所以 C3. (2)由(1)及余弦定理得

11、cos Ca2b2c22ab12， 又 c2 3，所以 a2b212ab， 所以(ab)2123ab3ab22， 即(ab)248(當(dāng)且僅當(dāng) ab2 3時等號成立) 所以 ab4 3，abc6 3. 所以ABC 周長的最大值為 6 3. 2(2018 武漢調(diào)研)在銳角ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別是 a，b，c，滿足 cos 2Acos 2B2cos6B cos6B 0. (1)求角 A 的值； (2)若 b 3且 ba，求 a 的取值范圍 解 ： (1) 由 cos 2A cos 2B 2cos6B cos6B 0 ， 得 2sin2B 2sin2A 234cos2B14sin2B

12、 0，化簡得 sin A32，又ABC 為銳角三角形，故 A3. (2)因為 b 3a，所以 ca，所以3C2，6B3，所以12sin B32. 由正弦定理asin Absin B，得a323sin B，所以 a32sin B， 由 sin B12，32得 a 3，3) A 組 夯基保分專練 一、選擇題 1(2018 高考全國卷)已知函數(shù) f(x)2cos2xsin2x2，則( ) Af(x)的最小正周期為，最大值為 3 Bf(x)的最小正周期為，最大值為 4 Cf(x)的最小正周期為 2，最大值為 3 Df(x)的最小正周期為 2，最大值為 4 解析： 選 B.易知 f(x)2cos2xsi

13、n2x23cos2x132(2cos2x1)32132cos 2x52， 則 f(x)的最小正周期為，當(dāng) xk(kZ)時，f(x)取得最大值，最大值為 4. 2在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別是 a，b，c，若 c2a，bsin Basin A12asin C，則 sin B 為( ) A.74 B.34 C.73 D.13 解析：選 A.由 bsin Basin A12asin C， 且 c2a， 得 b 2a， 因為 cos Ba2c2b22aca24a22a24a234， 所以 sin B 134274. 3(2018 洛陽第一次統(tǒng)考)在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別是

14、 a，b，c，若 a，b，c 成等比數(shù)列，且 a2c2acbc，則cbsin B( ) A.32 B.2 33 C.33 D. 3 解析：選 B.由 a，b，c 成等比數(shù)列得 b2ac，則有 a2c2b2bc，由余弦定理得 cos Ab2c2a22bcbc2bc12，故 A3，對于 b2ac，由正弦定理得，sin2 Bsin Asin C32sin C，由正弦定理得，cbsin Bsin Csin2 Bsin C32sin C2 33.故選 B. 4(2018 昆明模擬)在ABC 中，已知 AB 2，AC 5，tanBAC3，則 BC 邊上的高等于( ) A1 B. 2 C. 3 D2 解析：

15、選 A.法一：因為 tanBAC3，所以 sinBAC310，cosBAC110.由余弦定理，得 BC2AC2AB22ACAB cosBAC522 5 21109，所以 BC3，所以 SABC12ABACsinBAC12 2 531032，所以 BC 邊上的高 h2SABCBC23231，故選 A. 法二：因為 tanBAC3，所以 cosBAC1100，則BAC 為鈍角，因此 BC邊上的高小于 2，故選 A. 5ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c 2，則 C( ) A.12 B.6 C.4 D.3 解析：選 B

16、.因為 sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以 sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以 sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得 sin C(sin Acos A)0.因為 sin C0， 所以 sin Acos A0，所以 tan A1，因為 A(0，)，所以 A34. 由正弦定理得 sin Ccsin Aa222212， 又 0C4，所以 C6. 6.如圖，在ABC 中，C3，BC4，點 D 在邊 AC 上，ADDB，DEAB，E 為垂足若 DE2 2，則 cos A 等于( ) A.2 23 B.24

17、 C.64 D.63 解析：選 C.依題意得，BDADDEsin A2 2sin A，BDCABDA2A.在BCD中，BCsinBDCBDsin C，4sin 2A2 2sin A234 23sin A，即42sin Acos A4 23sin A，由此解得 cos A64. 二、填空題 7若 sin3 14，則 cos32 _ 解析：依題意得 cos32 cos32 cos23 2sin23 121421 78. 答案：78 8 (2018 高考全國卷改編)在ABC 中， cosC255， BC1， AC5， 則 AB_ 解析：因為 cos C2cos2 C21215135，所以由余弦定理，

18、得 AB2AC2BC22AC BCcos C2512513532，所以 AB4 2. 答案：4 2 9(2018 惠州第一次調(diào)研)已知 a，b，c 是ABC 中角 A，B，C 的對邊，a4，b(4，6)，sin 2Asin C，則 c 的取值范圍為_ 解析：由4sin Acsin C，得4sin Acsin 2A，所以 c8cos A，因為 16b2c22bccos A，所以16b264cos2A16bcos2A， 又b4， 所以cos2A16b26416b（4b）（4b）16（4b）4b16，所以 c264cos2A644b16164b.因為 b(4，6)，所以 32c240，所以 4 2c

19、2 10. 答案：(4 2，2 10) 三、解答題 10(2018 沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(一)在ABC 中，已知內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別是 a，b，c，且 2ccos B2ab. (1)求 C； (2)若 ab6，ABC 的面積為 2 3，求 c. 解：(1)由正弦定理得 2sin Ccos B2sin Asin B， 又 sin Asin(BC)， 所以 2sin Ccos B2sin(BC)sin B， 所以 2sin Ccos B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B， 所以 2sin Bcos Csin B0， 因為 sin B0，所以 cos C12. 又 C(0，)

20、，所以 C23. (2)因為 SABC12absin C2 3， 所以 ab8， 由余弦定理，得 c2a2b22abcos Ca2abb2(ab)2ab28， 所以 c2 7. 11(2018 石家莊質(zhì)量檢測(二)已知ABC 的內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，且3cacos Btan Atan B. (1)求角 A 的大小； (2)設(shè) AD 為 BC 邊上的高，a 3，求 AD 的取值范圍 解：(1)在ABC 中，因為3cacos Btan Atan B，所以3sin Csin Acos Bsin Acos Asin Bcos B，即3sin Csin Acos Bsin Acos

21、 Bsin Bcos Acos Acos B， 所以3sin A1cos A，則 tan A 3，所以 A3. (2)因為 SABC12ADBC12bcsin A， 所以 AD12bc. 由余弦定理得 cos A12b2c2a22bc2bc32bc， 所以 0bc3(當(dāng)且僅當(dāng) bc 時等號成立)， 所以 0AD32. 12(2018 鄭州質(zhì)量檢測(二)已知ABC 內(nèi)接于半徑為 R 的圓，a，b，c 分別是角 A，B，C 的對邊，且 2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，c3. (1)求 A； (2)若 AD 是 BC 邊上的中線，AD192，求ABC 的面積 解：(1)對于 2R(s

22、in2Bsin2A)(bc)sin C，由正弦定理得， bsin Basin Absin Ccsin C，即 b2a2bcc2， 所以 cos Ab2c2a22bc12，因為 0A180，所以 A60. (2)以 AB，AC 為鄰邊作平行四邊形 ABEC，連接 DE，易知 A，D，E 三點共線 在ABE 中，ABE120，AE2AD 19， 在ABE 中，由余弦定理得 AE2AB2BE22AB BEcos 120， 即 199AC223AC12，得 AC2. 故 SABC12bcsinBAC3 32. B 組 大題增分專練 1(2018 長春質(zhì)量監(jiān)測(二)在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對邊

23、分別為 a，b，c，其面積 Sb2sin A. (1)求cb的值； (2)設(shè)內(nèi)角 A 的平分線 AD 交于 BC 于 D，AD2 33，a 3，求 b. 解：(1)由 S12bcsin Ab2sin A，可知 c2b，即cb2. (2)由角平分線定理可知，BD2 33，CD33， 在ABC 中，cos B4b23b222b 3，在ABD 中，cos B4b243432 2b2 33，即4b23b222b 34b243432 2b2 33，解得 b1. 2(2018 貴陽模擬)已知在ABC 中，角 A，B，C 所對的邊長分別為 a，b，c，AB 邊上的高 h23c. (1)若ABC 為銳角三角形

24、，且 cos A35，求角 C 的正弦值； (2)若 C4，Ma2b213c2ab，求 M 的值 解：(1)作 CDAB，垂足為 D， 因為ABC 為銳角三角形，且 cos A35， 所以 sin A45，tan A43， 所以 ADc2，BDABADc2， 所以 BC CD2BD223c2c225c6， 由正弦定理得：sinACBABsin ABCc455c62425. (2)因為 SABC12c23c12absinACB24ab， 所以 c23 24ab， 又 a2b2c22abcosACB 2ab， 所以 a2b2 2abc2， 所以 a2b213c2 2ab43c2 2ab433 24

25、ab2 2ab， 所以 Ma2b213c2ab2 2abab2 2. 3(2018 合肥質(zhì)量檢測)已知ABC 中，D 為 AC 邊上一點，BC2 2，DBC45. (1)若 CD2 5，求BCD 的面積； (2)若角 C 為銳角，AB6 2，sin A1010，求 CD 的長 解：(1)在BCD 中，CD2BC2BD22BC BD cos 45， 即 208BD24BD，解得 BD6， 所以BCD 的面積 S122 26sin 456. (2)在ABC 中，由BCsin AABsin C得2 210106 2sin C， 解得 sin C3 1010. 由角 C 為銳角得，cos C1010，

26、 所以 sinBDCsin(C45)2 55. 在BCD 中，CDsinDBCBCsinBDC，即CD222 22 55， 解得 CD 5. 4(2018 高考天津卷)在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知 bsin AacosB6. (1)求角 B 的大??； (2)設(shè) a2，c3，求 b 和 sin(2AB)的值 解：(1)在ABC 中，由正弦定理asin Absin B，可得 bsin Aasin B，又由 bsin Aacos B6，得 asin Bacos B6，即 sin BcosB6，可得 tan B 3.又因為 B(0，)，可得 B3. (2)在ABC 中，由余弦定理及 a2，c3，B3，有 b2a2c22accos B7，故 b 7. 由 bsin AacosB6， 可得 sin A37. 因為 ac，故 cos A27. 因此 sin 2A2sin Acos A4 37， cos 2A2cos2A117， 所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B4 371217323 314.