《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》教學(xué)大綱

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1、B 》課程教學(xué)大綱 AdvancedMathematicsB 課程代碼： 03100B01 ， 03100B02 課程性質(zhì)：公共基礎(chǔ)理論課（必修） 適用專業(yè)：工商、會計(jì)等經(jīng)管類各專業(yè)開課學(xué)期： 1 、 2 總學(xué)時(shí)數(shù)： 144 總學(xué)分?jǐn)?shù)： 9 修訂年月： 2006 年 6 月執(zhí)筆：古偉清、余揚(yáng) 一、課程的性質(zhì)與目的 《高等數(shù)學(xué) B是經(jīng)濟(jì)與管理等學(xué)科各專業(yè)的一門必修的重要基礎(chǔ)課。本課程對幫助學(xué)生了解 經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)量關(guān)系與優(yōu)化規(guī)律的科學(xué)有著重要的意義。 通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對極限的思想和方法有進(jìn)一步的認(rèn)識，對具體與抽象、特殊與一般、 有限與無限等辯證關(guān)系有初步的了解，要使學(xué)

2、生獲得：一元函數(shù)微積分學(xué)；向量代數(shù)和空間解析幾 何；多元函數(shù)微積分學(xué)；無窮級數(shù)（包括傅里葉級數(shù)） ；常微分方程等方面的基本概念、基本理論和 基本運(yùn)算技能，建立變量的思想，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn)，并接受運(yùn)用變量數(shù)學(xué)方法解決簡單實(shí)際 問題的初步訓(xùn)練，同時(shí)要通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)傳授數(shù)學(xué)的思想方法，逐步培訓(xùn)學(xué)生的抽象概括能力、 邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力；在傳授知識的同時(shí)，要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和素 質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的意識、興趣，用定性與定量相結(jié)合的方法處理經(jīng)濟(jì)問 題的能力，為學(xué)生今后在其各個(gè)專業(yè)方向的深入發(fā)展打下牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 二、課程教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配

3、 （一）教學(xué)內(nèi)容 1 ．函數(shù)、極限與連續(xù) 函數(shù)：函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的特性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、初等函數(shù) 的概念，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形。簡單應(yīng)用問題函數(shù)關(guān)系的建立；經(jīng)濟(jì)變量間的數(shù)量關(guān)系：總 成本函數(shù)、總收入函數(shù)、總利潤函數(shù)、需求函數(shù)、供給函數(shù)等。 極限：數(shù)列極限的定義，收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一性，有界性） ；函數(shù)極限的定義，函數(shù)的左右極 限，函數(shù)極限的性質(zhì)（局部保號性、局部有界性） ，無窮小與無窮大的概念及其關(guān)系；極限的四則運(yùn) 算法則，兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則） ,兩個(gè)重要極限，無窮小的比較。 函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)及其分類

4、，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的 性質(zhì)（最大最小值定理，零點(diǎn)定理和介值定理） 。 2 ．導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系；平面曲線的切線 和法線，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；高階導(dǎo)數(shù)的概念， 初等函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法，隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法；微分的定 義，微分的運(yùn)算法則（含微分形式的不變性） 。 3 ．中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 羅爾定理和拉格朗日中值定理、柯西（ Cauchy） 中值定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式，函數(shù)的單 調(diào)性與曲線的凹凸性，函數(shù)的極值與最大最小值，求函數(shù)

5、曲線的漸近線，函數(shù)圖形的描繪，導(dǎo)數(shù)在 經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用（邊際分析、彈性分析） 。 4 ．不定積分 原函數(shù)與不定積分的定義，不定積分的性質(zhì)，基本積分公式，換元積分法，分部積分法，有理 函數(shù)的積分。 5 ．定積分及其應(yīng)用 定積分及其應(yīng)用：定積分的定義及其性質(zhì)，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓—萊布尼茨公式， 定積分的換元法和分部積分法；廣義積分的概念；定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用（面積、旋轉(zhuǎn)體體積、 平行截面面積為已知的立體的體積） ；積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。 6 ．多元函數(shù)微積分 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)：空間解析幾何簡介，多元函數(shù)的基本概念，二元函數(shù)的幾何表示，二元函數(shù) 的極限與連續(xù)性，有界閉

6、區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的定義及其求法，高階偏導(dǎo)數(shù) 的概念及復(fù)合函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的求法；全微分的定義，全微分存在的必要條件和充分條件，多元復(fù) 合函數(shù)的求偏導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求偏導(dǎo)公式（一個(gè)方程的情形） 。 偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：多元函數(shù)的極值及其求法，最大值、最小值問題及其簡單應(yīng)用，條件極值，拉 格朗日乘數(shù)法。 二重積分： 二重積分的概念、 性質(zhì)及計(jì)算 （直角坐標(biāo)、 極坐標(biāo)） ； 二重積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用 （曲 面面積、立體體積） 7 .無窮級數(shù) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：無窮級數(shù)及其收斂與發(fā)散的定義，收斂級數(shù)的和的概念、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)， 級數(shù)收斂的必要條件，幾何級數(shù)和 P—級數(shù)的斂散

7、性；正項(xiàng)級數(shù)的比較、比值及根值審斂法，交錯 級數(shù)的萊布尼茲定理，絕對收斂與條件收斂的概念及其關(guān)系。 哥級數(shù)：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與和函數(shù)的概念，哥級數(shù)的概念，阿貝爾定理，較簡單的哥級數(shù)的 收斂域的求法，哥級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，哥級數(shù)求和函數(shù)；泰勤級數(shù)，麥克勞林級數(shù)， 函數(shù)展開成哥級數(shù)。 8 .微分方程與差分方程 微分方程的基本概念，可分離變量的微分方程，齊次方程；一階線性微分方程；線性微分方程 解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；二階常系數(shù)齊次線性微分方程，常系數(shù)非齊次線性微分方程；差分方程 簡介。 （二）學(xué)時(shí)分配 本課程的教學(xué)時(shí)數(shù)為 144學(xué)時(shí)，分上、下兩學(xué)期，各學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)分

8、配如下表： （課 內(nèi)外學(xué)時(shí)比例均為1:2） ， 教學(xué)環(huán)節(jié) 課程內(nèi)容 J、 講課 習(xí)題課 小計(jì) 函數(shù)、極限、連續(xù) 16 2 18 導(dǎo)數(shù)與微分 10 2 12 高等 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 14 2 16 數(shù)學(xué) 中段檢測 2 B (1) 不定積分 8 2 10 定積分及其應(yīng)用 10 2 12 總復(fù)習(xí) 2 2 合計(jì) 58 12 72 高等 多元函數(shù)微積分 28 4 32 數(shù)學(xué) B (2) 中段檢測 2 無窮級數(shù) 16 2 18 微分方程與差分方程 16

9、 2 18 總復(fù)習(xí) 2 2 合計(jì) 62 10 72 總計(jì) 122 22 144 三、課程教學(xué)基本要求及重點(diǎn)難點(diǎn) (一)函數(shù)、極限與連續(xù) 1 .基本要求 1) .深入理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，了解常用經(jīng)濟(jì)變量間的數(shù)量關(guān)系：總成本函 數(shù)、總收入函數(shù)、總利潤函數(shù)、需求函數(shù)、供給函數(shù)等，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。 2) .熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。 3) .理解復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)、反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。 4) .掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，理解初等函數(shù)的概念。 5) .理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念，理解函數(shù)左極限

10、與右極限的概念，以及極限存在與左、 右極限之間的關(guān)系，了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的區(qū)別和聯(lián)系。 6) .掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。 7) .了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。 8) .理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價(jià)無窮小求極限。 9) .理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù)) ，會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。 10) .了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。 2 .重點(diǎn)：函數(shù)概念，復(fù)合函數(shù)概念，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，極限

11、概念，極限四則運(yùn)算 法則，連續(xù)概念。 3 .難點(diǎn)：極限的e —N、e — 6定義，求極限。 (二)、導(dǎo)數(shù)與微分 1 ．基本要求： 2 ）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念 ;了解導(dǎo)數(shù)、微分的幾何意義 ;了解函數(shù)可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系； 3 ）熟練掌握導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則（包括微分形式不變性）和導(dǎo)數(shù)的基本公式； 4 ）熟練掌握復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握用對數(shù)求導(dǎo)的方法； 5 ）掌握求參數(shù)方程所表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法； 6 ）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；熟練掌握求初等函數(shù)一、二階導(dǎo)數(shù)的方法。 7 ．重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的四 則運(yùn)算法則和

12、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，隱函數(shù)求導(dǎo)法；初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。 8 ．難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。 （3） 、中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1 ．基本要求： 2 ）理解羅爾定理和拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，了解柯西（ Cauchy） 中值定理； 3 ）熟練掌握洛必達(dá)法則和各種未定式極限的求法； 4 ）熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法極其應(yīng)用； 5 ）熟練掌握求函數(shù)極值的方法，了解函數(shù)極值和最值的關(guān)系； 6 ）熟練掌握函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的判別方法及曲線漸近線的求法； 7 ）掌握函數(shù)作圖的基本步驟和方法； 8 ）掌握對常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行邊際分析和彈性分

13、析的方法。 9 ．重點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具分析函數(shù)性態(tài)；對經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行邊際分析和彈性分析。 10 ．難點(diǎn)：函數(shù)性態(tài)分析。 （4） 、不定積分 1 ．基本要求： 2 ）理解原函數(shù)和不定積分的概念； 3 ）熟練掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式； 4 ）熟練掌握換元積分法，分部積分法； 5 ）會求有理函數(shù)的積分； 2 ．重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分的定義，不定積分的性質(zhì)，基本積分公式，換元積分法，分部積分 法。 6 ．難點(diǎn)：換元積分法。 （5） 、定積分及其應(yīng)用 1 ．基本要求： 2 ）了解定積分的概念和性質(zhì)； 3 ）熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式，會求變上限定積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 4

14、 ）熟練掌握求定積分的湊微分法和第二換元積分法，分部積分法； 5 ）會利用定積分求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積，會利用定積分求解簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題； 6 ）了解廣義積分收斂和發(fā)散的概念，掌握計(jì)算廣義積分的基本方法。 7 ．重點(diǎn)：定積分的概念及性質(zhì)，定積分的換元法與分部積分法，變上限的積分作為其上限的函 數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓—萊布尼茲公式，定積分的幾何應(yīng)用和經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。 8 ．難點(diǎn)：變上限函數(shù)的求導(dǎo)，換元積分法。 （6） 、多元函數(shù)微積分 1 ．基本要求： 2 ）理解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義。 3 ）了解多元函數(shù)的極限及連續(xù)的概念；理解多元函數(shù)的全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念。

15、 掌握偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算法。 4 ）掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。 5 ）掌握偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 6 ）了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，了解二重積分在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。 7 ．重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，復(fù)合函數(shù)—階偏導(dǎo)數(shù)的求法，多元函數(shù)極 值和條件極值的概念。二重積分的概念，二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)） 。 8 ．難點(diǎn)：求抽象復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。 （7） 、無窮級數(shù) 1 ．基本要求： 1）常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念、 收斂級數(shù)的和的概念、 級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件; 2）幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂性、正項(xiàng)級

16、數(shù)審斂法（比較、比值、根值判別法） ； 3）任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂 交錯級數(shù)與萊布尼茨定理； 4）哥級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域； 5）哥級數(shù)的和函數(shù) 哥級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)； 6）函數(shù)展開成哥級數(shù)（泰勒級數(shù)）； 7）簡單哥級數(shù)的和函數(shù)的求法、初等函數(shù)的哥級數(shù)展開式。 2 .重點(diǎn)：無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，幾何級數(shù)和 P—級數(shù)的收斂性，正項(xiàng)級數(shù)的比值 審斂法，萊布尼茲判別法，比較簡單的哥級數(shù)收斂區(qū)間的求法。用間接法展開函數(shù)為哥級數(shù)。 3 .難點(diǎn)：正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法，交錯級數(shù)的萊布尼茲定理，求哥級數(shù)的收斂域及和函數(shù)，函 數(shù)展開為泰勒級數(shù)。

17、 （八）、微分方程與差分方程 1 .基本要求： 1 ） 了解微分方程及其階、解、通解、初始條件、特解的概念； 2）能識別下述一階微分方程、可分離變量的微分方程，齊次方程，一階線性方程 3）熟練掌握可分離變量的微分方程、齊次方程、及一階線性方程的解法，會求其通解、特解； 4） 了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理； 5）熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法； 6）掌握非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式，指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及以及它們的線性組合與乘積的 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法； 2.重點(diǎn)：變量可分離的方程及一階線性方程的解法，二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù) 齊次

18、（非齊次）線性微分方程的解法。 3 .難點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解。 四、本課程與其它課程的聯(lián)系與分工 先修課程：無 后續(xù)課程：作為基礎(chǔ)課，它是許多后繼課，如統(tǒng)計(jì)學(xué)原理、工商企業(yè)經(jīng)營管理、市場營銷學(xué)、 應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)、西方經(jīng)濟(jì)學(xué)、市場調(diào)查與分析等專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課的基礎(chǔ)。 五、建議教材及教學(xué)參考書 [ 1 吳贛昌主編， 《微積分 （經(jīng)管類 ）》第二版 ,中國人民大學(xué)出版社 ,2007.7 出版 [2周誓達(dá)， 《微積分》 ,中國人民大學(xué)出版社 ,2004.11 出版 [ 3 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編， 《高等數(shù)學(xué)》 ，第五版，高等教育出版社， 2002.7 出版 [ 4周誓達(dá)編 ,《微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo) （經(jīng)濟(jì)類與管理類 ）》 ，中國人民大學(xué)出版社 ,2005.7 出版