【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練：第10篇 基礎(chǔ)回扣練——推理證明、算法、復(fù)數(shù)

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1、基礎(chǔ)回扣練——推理證明、算法、復(fù)數(shù) (建議用時(shí)：60分鐘) 一、選擇題 1．(2013北京卷)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i(2－i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (　　)． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因?yàn)閕(2－i)＝1＋2i，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)，該點(diǎn)在第一象限． 答案　A 2．(2013遼寧卷)復(fù)數(shù)z＝的模為 (　　)． A. B．　　 C. D．2 解析　z＝＝＝－－i， ∴|z|＝＝. 答案　B 3．(2014寶雞模擬)若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a＋i)i＝b＋，則a＋b＝(　　)． A．0 B．1　　 C．2 D．－2

2、解析　由已知得ai＋i2＝b＋(2＋i)， 即－1＋ai＝(b＋2)＋i，∴∴ ∴a＋b＝1－3＝－2. 答案　D 4．(2014景德鎮(zhèn)模擬)已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1，且|z|＝2，則復(fù)數(shù)z的虛部是(　　)． A．－ B．i　　 C．i D． 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由題意知a＝1， ∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝. 答案　D 5．(2014青島一模)某算法框圖如圖所示，若a＝3，則該程序運(yùn)行后，輸出的x值為 (　　)． A．15 B．31　　 C．62 D．63 解析　第一次循環(huán)：x＝23＋1＝7，n＝2； 第二次循環(huán)：x＝27＋1＝15，n＝3

3、； 第三次循環(huán)：x＝215＋1＝31，n＝4. 此時(shí)不滿足條件，輸出x＝31. 答案　B 6．(2014南充月考)執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出n的值為(　　)． A．6 B．5　　 C．4 D．3 解析　第一次循環(huán)，n＝1，S＝1＋2＝3；第二次循環(huán)，n＝2，S＝23＋2＝8；第三次循環(huán)，n＝3，S＝38＋2＝26；第四次循環(huán)，n＝4，S＝426＋2＝106，此時(shí)滿足條件，輸出n＝4. 答案　C 7.(2014紹興模擬)已知某算法框圖如圖所示，當(dāng)輸入的x的值為5時(shí)，輸出的y的值恰好是，則在空白的賦值框處應(yīng)填入的關(guān)系式可以是 (　　)． A．y＝x3 B．y＝x C

4、．y＝3x D．y＝3－x 解析　由程序框圖可知，當(dāng)輸入的x的值為5時(shí)， 第一次運(yùn)行，x＝5－2＝3； 第二次運(yùn)行， x＝3－2＝1； 第三次運(yùn)行，x＝1－2＝－1， 此時(shí)x≤0，退出循環(huán)，要使輸出的y的值為，只有C中的函數(shù)y＝3x符合要求． 答案　C 8.(2014廣元二診)某算法的算法框圖如圖所示，如果輸出的結(jié)果為5,57，則判斷框內(nèi)應(yīng)為 (　　)． A．k≤6？ B．k＞4? C．k＞5？ D．k≤5? 解析　當(dāng)k＝1時(shí)，S＝20＋1＝1；當(dāng)k＝2時(shí)，S＝21＋2＝4；當(dāng)k＝3時(shí)，S＝24＋3＝11；當(dāng)k＝4時(shí)，S＝211＋4＝26；當(dāng)k＝5時(shí)，S＝226＋5

5、＝57，由題意知此時(shí)退出循環(huán)，因而選B. 答案　B 9．(2014福州質(zhì)檢)將正奇數(shù)1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列規(guī)律，89所在的位置是 (　　)． A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列 解析　正奇數(shù)從小到大排，則89位居第45位，而45＝411＋1，故89位于第四列． 答案　D 10．(2013長(zhǎng)沙模擬)我國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦．若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2＋b2＝c2，稱這個(gè)定理為勾股定理．現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠

6、COA＝90，S為頂點(diǎn)O所對(duì)面的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則下列選項(xiàng)中對(duì)于S，S1，S2，S3滿足的關(guān)系描述正確的為 (　　)． A．S2＝S＋S＋S B．S2＝＋＋ C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋ 解析　如圖，作OD⊥BC于點(diǎn)D，連接AD，由立體幾何知識(shí)知，AD⊥BC，從而S2＝2＝BC2AD2＝BC2(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)OA2＋ BC2OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S. 答案　A 二、填空題 11．(2014九江模擬)已知i是虛數(shù)單位，則＝________. 解析　＝1－i. 答案　1－i 12．(2

7、014西安中學(xué)模擬)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析　＝＝＋i， 由題意知：＝0，∴a＝2. 答案　2 13．(2013浙江卷)若某算法框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值等于________． 解析　第一步：S＝1＋＝，k＝2； 第二步：S＝＋＝，k＝3； 第三步：S＝＋＝，k＝4； 第四步：S＝＋＝，k＝5， 結(jié)束循環(huán)．輸出S＝. 答案　 14．(2014安康中學(xué)模擬)若程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出k的值為________． 解析　第一次：n＝35＋1＝16，k＝1； 第二次：n＝＝8，k＝2； 第三次：n＝＝4，

8、k＝3； 第四次：n＝＝2，k＝4； 第五次：n＝＝1，k＝5， 此時(shí)滿足條件，輸出k＝5. 答案　5 15．(2013陜西卷)觀察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …… 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________． 解析　觀察規(guī)律可知，第n個(gè)式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1. 答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 16．(2014蘭州質(zhì)檢)在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝.推廣到空間幾何可以得

9、到類似結(jié)論：若正四面體A－BCD的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則＝________. 解析　平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與球的半徑的立方成正比，所以＝. 答案　 三、解答題 17．在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1＝2，不等式(n＋1)an≥na2n對(duì)任意n∈N*都成立． (1)求a2的取值范圍； (2)判斷數(shù)列{an}能否為等比數(shù)列，并說明理由． 解　(1)因?yàn)閧an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以a2＞a1，即a2＞2. 又(n＋1)an≥na2n，令n＝1，則有2a1≥a2，即a2≤4，所以a2∈(2,4]． (2)數(shù)列{an}不能為等

10、比數(shù)列． 用反證法證明： 假設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，由a1＝2＞0，得an＝2qn－1. 因?yàn)閿?shù)列{an}單調(diào)遞增，所以q＞1. 因?yàn)?n＋1)an≥na2n對(duì)任意n∈N*都成立， 所以對(duì)任意n∈N*，都有1＋≥qn.① 因?yàn)閝＞1，所以存在n0∈N*， 使得當(dāng)n≥n0時(shí)，qn＞2. 因?yàn)?＋≤2(n∈N*)． 所以存在n0∈N*，使得當(dāng)n≥n0時(shí)，qn＞1＋，與①矛盾，故假設(shè)不成立． 18．(2014福州質(zhì)檢)閱讀下面材料： 根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， ① sin(α－β)＝sin αc

11、os β－cos αsin β， ② 由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， ③ 令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝， 代入③得sin A＋sin B＝2sin cos. (1)類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cos A－cos B＝－2sinsin； (2)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C，試判斷△ABC的形狀． (提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(1)中的結(jié)論) 解　(1)因?yàn)閏os(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，② ①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝， 代入③得cos A－cos B＝－2sin sin. (2)由二倍角公式，cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C可化為1－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2C， 所以sin2A＋sin2C＝sin2B. 設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c， 由正弦定理可得a2＋c2＝b2. 根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形．