萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一：專題四 基本初等函數(shù) Word版含解析

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1、 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識 1.求二次函數(shù)的解析式 利用已知條件求二次函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法，但須根據(jù)不同條件選取適當(dāng)形式的f(x)，一般規(guī)律是： ①已知三個點(diǎn)的坐標(biāo)時，宜用一般式； ②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最大(小)值時，常用頂點(diǎn)式； ③若已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)已知時，選用零點(diǎn)式更方便． 2．含有參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值或值域 二次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的最值或值域問題，通常有兩種類型：其一是定函數(shù)(解析式確定)，動區(qū)間(區(qū)間的端點(diǎn)含有參數(shù))；其二是動函數(shù)(解析式中含有參數(shù))，定區(qū)間(區(qū)間是確定的)．無論哪種情況，解題的關(guān)鍵都是抓住“三

2、點(diǎn)一軸”，“三點(diǎn)”即區(qū)間兩端點(diǎn)與區(qū)間中點(diǎn)，“一軸”即為拋物線的對稱軸．對于動函數(shù)、動區(qū)間的類型同樣是抓住“三點(diǎn)一軸”，只不過討論要復(fù)雜一些而已 3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 （，且） （1）.如；(2) . 如；（3）； （4）當(dāng)為奇數(shù)時，； 當(dāng)為偶數(shù)時，. 4.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（） （1）； （2）； （3） 5.指數(shù)函數(shù)（且），其中是自變量，叫做底數(shù)，定義域是R x y 0 1 y 圖 象 1 0 x 性 質(zhì) （1）定義域：R （2）值域：（0，+∞） （3）過定點(diǎn)（0，1），即x=0時，y=1 （4）

3、在 R上是增函數(shù) （4）在R上是減函數(shù) 6.若，則 叫做以 為底的對數(shù)。記作：（，） 其中，叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做對數(shù)的真數(shù)。 注：指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式： 7.對數(shù)的性質(zhì) （1）零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即中； （2）1的對數(shù)等于0，即 ；底數(shù)的對數(shù)等于1，即 8.常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記為： 自然對數(shù)：以e(e=2.71828…)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記為： 9.對數(shù)恒等式： 10.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0） (1); (2) ; (3) （注意公式的逆用） 11.對數(shù)的換底公式

4、(,且,,且, ). 推論①或； ②. 12.對數(shù)函數(shù)（，且）：其中，是自變量，叫做底數(shù)，定義域是 圖像 x 1 y 0 1 x 0 性質(zhì) 定義域：(0, ∞) 值域：R 過定點(diǎn)（1，0） 增函數(shù) 減函數(shù) 取值范圍 01時，y>0 00 x>1時，y<0 13.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；它們圖象關(guān)于直線對稱. 14.冪函數(shù)（），其中是自變量。要求掌握這五種情況(如下圖) 15.冪函數(shù)的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律： （Ⅰ）所有冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，

5、并且圖象都過點(diǎn)（1，1）； （Ⅱ）當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)． （Ⅲ）當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)． 二、題之本：思想方法技巧 1.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱. 2.對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)應(yīng)滿足的條件是求解對數(shù)問題時必須予以特別重視的. 3. 比較冪形式的兩個數(shù)的大小，一般的思路是：（1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調(diào)性；（2）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大?。? 4.比較幾個數(shù)的大小是對數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的常

6、見題型.在具體比較時，可以首先將它們與零比較，分出正負(fù)；正數(shù)通常都再與1比較分出大于1還是小于1，然后在各類中間兩兩相比較. 5．冪函數(shù)的圖象特征與指數(shù)的大小關(guān)系，大都可通過冪函數(shù)的圖象與直線x＝2或x＝的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小反映．一般地，在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大、圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，圖象越遠(yuǎn)離x軸(不包括冪函數(shù)y＝x0)． 6．冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在二、三象限內(nèi)，則要看函數(shù)的定義域和奇偶性．函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)，如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)

7、一定是原點(diǎn)． 7.判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)或冪函數(shù)，一定要根據(jù)三種函數(shù)定義中的“標(biāo)準(zhǔn)”形式．如f(x)＝2x2不是指數(shù)函數(shù)，而f(x)＝23x是指數(shù)函數(shù)，因為f(x)＝23x＝8x，此時a＝8，同樣f(x)＝2x＋1也不是指數(shù)函數(shù)，因為f(x)＝2x＋1＝22x，不是f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的形式． 8.若，則，。 三、題之變：課本典例改編 1. 原題（必修1第五十九頁習(xí)題2.1第8題）已知下列不等式，比較，的大小 （1） (2) 改編1 設(shè)，那么 （ ） A.a＜a＜b B.a＜ b＜a C.a＜a＜

8、b D.a＜b＜a 【答案】C. 改編2 已知，則 （ ） A． B. C. D. 【答案】A. 【解析】 由已知，因為在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以，故答案為A. 改編3 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對稱，記．若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（?。? A． 　 B． 　　 　C． D． 【答案】D. 【解析】 本題根據(jù)反函數(shù)的定義求出的解析式，再用換元法判斷的單調(diào)性，結(jié)合條件在區(qū)間上是增函數(shù)，求出實數(shù)的取值范圍是，故答案為D.　 2. 原題（必修1第七十五頁習(xí)題2.

9、2 B組第2題）若，且，求實數(shù)的取值范圍. 改編1 若，則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】 當(dāng)時，若，則，∴ 當(dāng)時，若，則，此時無解！故選C. 改編2 設(shè)，函數(shù)，則使的的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C. 3. 原題（必修1第七十五頁習(xí)題2.2 B組第4題）已知函數(shù)，，且（1）求函數(shù)定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由. 改編1 已知是偶函數(shù)，定義域為.則 ， . 【答案】，. 【解析】 函數(shù)是偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.∴，. 改編2 函

10、數(shù)的圖象關(guān)于 （ ） A．軸對稱 B．軸對稱 C．原點(diǎn)對稱 D．直線對稱 【答案】B. 【解析】 函數(shù)定義域為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱.故選B. 改編3 若函數(shù)是奇函數(shù)，則 【答案】 4.原題（必修1第八十二頁復(fù)習(xí)參考題A組第七題）已知，求證：（1），（2）. 改編 給出下列三個等式：.下列選項中，不滿足其中任何一個等式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的性質(zhì)可知，滿足，滿足，

11、滿足，而不滿足其中任何一個等式.故選B. 5.原題（必修1第八十二頁復(fù)習(xí)參考題A組第八題）已知,,求證:（2）. 改編 定義在上的函數(shù)滿足對,都有成立,且當(dāng)時，，給出下列命題:①；②函數(shù)是奇函數(shù)；③函數(shù) 只有一個零點(diǎn)；④,其中正確命題的個數(shù)是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C. 6.原題（必修1第八十三頁復(fù)習(xí)參考題B組第一題）已知集合， ，則=（ ） A. B. C. D. 改編 在平面直角坐標(biāo)系中，集合，且，設(shè)集合中的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為，則有（ ） A. B.

12、 C. D. 【答案】B. 【解析】由圖知與圖象交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)為，不妨設(shè)，則，∵在R上遞減，∴，當(dāng)時，，，;當(dāng)時，，，，故選B. 7.原題（必修1第八十三頁復(fù)習(xí)參考題B組第三題）對于函數(shù)．（a R） （1）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在實數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)？ 改編1 對于函數(shù)f(x)=a+ (x∈R)，（1）用定義證明：f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)；（2）若f（x）是奇函數(shù)，求a值；（3）在（2）的條件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0． 【解析】（1）：設(shè)＜，則f（）-f（）=-=∵-＞0，＞0，＞0．即f（）-f（）＞0．∴f（x）

13、在R上是單調(diào)減函數(shù) （2）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0?a=-1． （3）由（1）（2）可得f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)且是奇函數(shù)，∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．轉(zhuǎn)化為f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），?2t+1≥-t+5?t≥，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集為：{t|t≥}． 改編2 已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍． 8.原題（必修1第八十三頁復(fù)習(xí)參考題B組第四題）設(shè)，求證：（1）；（2）；（3）； 改編1 設(shè)，給出如下結(jié)論：①對任意，有；②存在實數(shù)，使得；③不存在實數(shù)，使得；④對任意，有； 其中所有正確結(jié)論的序號是 【答案】①③④. 改編2 已知函數(shù)滿足，且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若使得不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 . 【答案】. 【解析】，得， 即，解得，，即得 ，參數(shù)分離得，因為 （當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，的解滿足）， 所以. 改編3 已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足：，則 . 【答案】