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1、精編北師大版數學資料
計算導數例析
導數的方法涉及導數定義、常用求導公式、四則運算法則和復合函數求導法則等求導方法，因此重點應為導數的概念與計算，學習時應熟練掌握以下求導法：直接利用法則與公式求導、復合函數求導．在求導過程中應熟記導數公式與運算法則，重點掌握復合函數的求導方法.
學習了函數的和、差、積、商的求導法則后，由常函數、冪函數及正、余弦函數經加、減、乘、除運算得到的簡單的函數，均可利用求導法則與導數公式求導，而不需要回到導數的定義去求。舉例說明如下.
例1 求下列函數的導數
?。?）；?。?）；
?。?）；?。?）y=tanx。
解 （1）；
2、?。?）
∴
或利用函數的積的求導法則：
?。?），
∴
?。?），
∴.
例2 求下列函數的導數：
.
分析：從這兩個函數的形式結構來看，都是商的形式，如果直接套用商的求導法則，運算量較大，但從形式上看，可以轉化為和的形式.
解：（1）
（2）
點評：（1）不加分析，盲目套用公式，會給運算帶來不便，甚至錯誤，如（2）的求導形式較為復雜，用商的求導法則之后，還需通分化簡.
（2）先化簡，再求導實施求導運算的基本方法，是化難為易、化繁為簡的基本原則和策略．
例3 求下列函數的導數
（1）；?。?/p>
3、2）；
?。?）； （4）。
解 （1），
∴
?。?）
，
∴
?。?），
∴
?。?）
∴.
點撥 對于較復雜的函數求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則。
例4 利用導數求和：
?。?）；
?。?）。
分析 這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉換思維角度，由求導公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數，利用導數運算可使問題的解決更加簡捷。
解 （1）當x=1時，
??；
當x≠1時，
∵，
兩邊都是關于x的函數，求導得
即
?。?）∵
4、，
兩邊都是關于x的函數，求導得。
令x=1得
，
即。
例5 如果函數f(x)=ax5－bx3＋c（a≠0）在x=1時有極值，極大值為4，極小值為0，試求a，b，c的值.
分析 可通過求導確定可疑點，注意利用已知極值點x=1所確定的相關等式，在判斷y′的符號時，必須對a進行分類計論.
解答 y′=5ax4－3bx2，令y′=0，即5ax4－3bx2=0,x2(5ax2－3b)=0，
∵x=1是極值點，∴ 5a(1)2－3b=0.
又x2=0，∴ 可疑點為x=0，x=1.
若a>0，y′=5ax2(x2－1).
當x變化時，y′，y的變化情況如下表：
x
(－∞,－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,＋∞)
y′
＋
0
－
0
－
0
＋
y
↗
極大
↘
無極值
↘
極小
↗
由上表可知，當x=－1時，f(x)有極大值，當x=1時，f(x)有極小值.
若a<0時，同理可知a=－3，b=－5，c=2.
點評 運用待定系數法，從逆向思維出發(fā)，實現了問題由已知向未知的轉化．在轉化過程中，利用了列表，解決了待定系數的問題．
精編高中數學北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：計算導數例析
