2020高中數(shù)學北師大版必修三教學案：第三章167;2第3課時 互斥事件 Word版含答案

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1、北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料 第3課時　互 斥 事 件 [核心必知] 1．互斥事件 (1)定義：在一個隨機試驗中，我們把一次試驗下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件． (2)規(guī)定：事件A＋B發(fā)生是指事件A和事件B至少有一個發(fā)生． (3)公式： ①在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． ②一般地，如果隨機事件A1，A2，…，An中任意兩個是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 2．對立事件 (1)定義：在一次試驗中，如果兩個事件A與B不能同時發(fā)生，

2、并且一定有一個發(fā)生，那么事件A與B稱作對立事件，事件A的對立事件記為. (2)性質(zhì)：P(A)＋P()＝1，即P(A)＝1－P()． [問題思考] 1．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立的條件是什么？ 提示：事件A與B是互斥事件． 2．互斥事件與對立事件有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 提示：對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件． 講一講 1.判斷下列給出的條件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由：從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1～10各10張)中，任取一張． (1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； (2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；

3、(3)“抽出的牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的點數(shù)大于9”． [嘗試解答]　(1)是互斥事件，不是對立事件． 從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件．同時，不能保證其中必有一個發(fā)生， 這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件． (2)既是互斥事件，又是對立事件． 從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發(fā)生，且其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件． (3)不是互斥事件，當然不可能是對立事件． 從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”

4、與“抽出的牌的點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件． 1．判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們能否同時發(fā)生，若不同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件，若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件．判斷兩個事件是否為對立事件，主要看是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生．這兩個條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件，只要有一個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件． 2．“互斥事件”與“對立事件”都是對兩個事件而言的．對立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件． 練一練 1．從裝有2個紅球和2個白球的

5、口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是(　　) A．“至少有1個白球”和“都是紅球” B．“至少有1個白球”和“至多有1個紅球” C．“恰有1個白球”和“恰有2個白球” D．“至多有1個白球”和“都是紅球” 解析：選C 該試驗有三種結(jié)果：“恰有1個白球”、“恰有2個白球”、“沒有白球”，故“恰有1個白球”和“恰有2個白球”是互斥事件而不是對立事件． 答案： 講一講 2.玻璃盒子中裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中任取1球．設事件A為“取出1只紅球”，事件B為“取出1只黑球”，事件C為“取出1只白球”，事件D為“取出1只綠球”．已知P(A)＝，P(B

6、)＝，P(C)＝，P(D)＝. 求：(1)“取出1球為紅或黑”的概率； (2)“取出1球為紅或黑或白”的概率． [嘗試解答]　由于事件A，B，C，D彼此為互斥事件，所以 法一：(1)“取出1球為紅或黑”的概率為 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. (2)“取出1球為紅或黑或白”的概率為 P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝. 法二：(1)“取出1球為紅或黑”的對立事件為“取出1球為白或綠”，即A＋B的對立事件為C＋D，所以 P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－－＝. (2)A＋B＋C的對立事件為D，所以P(A＋B＋C)＝1－P

7、(D)＝1－＝. 1．可將一個事件的概率問題分拆為若干個互斥事件，分別求出各事件的概率，然后用加法公式求出結(jié)果． 2．運用互斥事件的概率加法公式解題時，首先要分清事件間是否互斥，同時要學會把一個事件分拆為幾個互斥事件，做到不重不漏． 練一練 2．向三個相鄰的軍火庫投擲一顆炸彈，炸中第一個軍火庫的概率是0.025，炸中其他兩個的概率都是0.1.已知只要炸中一個，另外兩個都會爆炸．求這三個軍火庫都爆炸的概率和都沒有爆炸的概率． 解：設以A，B，C分別表示炸中第一、第二、第三個軍火庫的事件，則P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.由題意，知A，B，C兩兩互斥，且“三

8、個軍火庫都爆炸”意味著炸彈炸中其中任何一個． 設D表示事件“三個軍火庫都爆炸”， 則D＝A＋B＋C，其中A，B，C兩兩互斥． 所以，P(D)＝P(A＋B＋C) ＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 所以，三個軍火庫都沒有爆炸的概率為1－P(D)＝0.775. 講一講 3.據(jù)統(tǒng)計，某儲蓄所一個窗口等候的人數(shù)及相應概率如下表： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)求至多2人排隊等候的概率； (2)求至少2人排隊等候的概率． [嘗試解答

9、]　記在窗口等候的人數(shù)為0,1,2分別為事件A，B，C，則A，B，C兩兩互斥． (1)至多2人排隊等候的概率是 P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)至少2人排隊等候的反面是“等候人數(shù)為0或1”，而等候人數(shù)為0或1的概率為 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26， 故至少2人排隊等候的概率為1－0.26＝0.74. 1．求復雜事件的概率通常有兩種方法： (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的并事件； (2)先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率． 2．涉及到“至多”“至少”型問題，可以用互斥事

10、件以及分類討論的思想求解；當涉及到互斥事件多于兩個時，一般用對立事件求解． 練一練 3．現(xiàn)從A、B、C、D、E五人中選取三人參加一個重要會議．五人被選中的機會相等．求： (1)A被選中的概率； (2)A和B同時被選中的概率； (3)A或B被選中的概率． 解：從A、B、C、D、E五人中任選三人參加會議共有以下10種基本事件： (A、B、C)，(A、B、D)，(A、B、E)，(A、C、D)，(A、C、E)，(A、D、E)，(B、C、D)，(B、C、E)，(B、D、E)，(C、D、E)，且每種結(jié)果出現(xiàn)是等可能的． (1)事件“A被選中”共有6種方式．故所求事件的概率P＝＝＝0.6

11、. (2)A、B同時被選中共有3種方式，故所求事件的概率為P＝＝0.3. (3)法一：“A或B被選中”的對立事件為“A和B均未被選中”，故所求事件的概率 P＝1－＝＝0.9. 法二：“A或B被選中”即A、B兩人至少有一人被選中，共有9種方式． 故所求事件的概率P＝＝0.9. 【解題高手】【易錯題】 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“向上的點數(shù)不超過3”，求P(A＋B)． [錯解]　顯然P(A)＝P(B)＝， 故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1. [錯因]　忽視了“互斥事件”概率加法公式的前提條件，由于“向上的點數(shù)是奇數(shù)”與“向上的點

12、數(shù)不超過3”不是互斥事件，即出現(xiàn)1或3時，事件A、B同時發(fā)生．因此，不能用P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解． [正解]　A包含向上點數(shù)是1,3,5的情況，B包含向上的點數(shù)是1,2,3的情況，所以A＋B包含了向上點數(shù)是1,2,3,5的情況．故P(A＋B)＝＝. 1．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設A＝“三件產(chǎn)品全不是次品”，B＝“三件產(chǎn)品全是次品”，C＝“三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”，則下列結(jié)論哪個是正確的(　　) A．A與C互斥　　　　　　B．B與C互斥 C．任何兩個相互斥 D．任何兩個都不互斥 解析：選C 由題意可知，事件A，B，C兩兩不可能同時發(fā)生，因此

13、，兩兩互斥． 2．從1,2,3，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)． 在上述事件中，是對立事件的是(　　) A．① B．②④ C．③ D．①③ 解析：選C 從1～9中任取兩數(shù)，有以下三種情況：(1)兩個均為奇數(shù)；(2)兩個均為偶數(shù)；(3)一個奇數(shù)和一個偶數(shù)． 3．從一箱蘋果中任取一個，如果其重量小于200克的概率為0.2，重量在[200,300]克的概率為0.5，那么重量超過300克的概率為(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 解析

14、：選B 記“重量小于200克”為事件A，“重量在[200,300]克之間”為事件B，“重量超過300克”為事件C，則P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.2－0.5＝0.3. 4．中國乒乓球隊甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙奪得冠軍的概率為，那么中國隊奪得乒乓球單打冠軍的概率為________． 解析：由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為＋＝. 答案： 5．某部電話，當打進電話時，響第1聲被接到的

15、概率為0.2，響第2聲被接到的概率為0.3，響第3聲被接到的概率為0.3，響第4聲被接到的概率為0.1，那么電話在響前4聲內(nèi)被接到的概率是________． 解析：P＝P1＋P2＋P3＋P4＝0.2＋0.3＋0.3＋0.1＝0.9. 答案：0.9 6．某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.計算這個射手在一次射擊中 (1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率； (2)至少射中7環(huán)的概率； (3)射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率． 解：設“射中10環(huán)”、“射中9環(huán)”、“射中8環(huán)”、“射中7環(huán)”、“射中7環(huán)以下”的事件分別為A、B

16、、C、D、E，則 (1)因為事件A與事件B互斥，所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52. (2)同樣，事件A、B、C、D彼此互斥，則P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87. (3)類似地，P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29. 一、選擇題 1．抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為(　　) A．至多有2件次品 B．至多有1件次品 C．至多有2件正品 D．至少有2件正品 解析：選B 至少有2件次品包

17、含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9種結(jié)果，故它的對立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品． 2．同時擲三枚硬幣，那么互為對立事件的是(　　) A．至少有1枚正面向上和最多有1枚正面向上 B．最多1枚正面向上和恰有2枚正面向上 C．不多于1枚正面向上和至少有2枚正面向上 D．至少有2枚正面向上和恰有1枚正面向上 答案：C 3．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03、丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件，抽得正品的概率為(　　) A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96 解析：選D 設“抽得正品

18、”為事件A，“抽得乙級品”為事件B，“抽得丙級品”為事件C，由題意，事件B與事件C是互斥事件，而事件A與并事件(B＋C)是對立事件； 所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－[P(B)＋P(C)]＝1－0.03－0.01＝0.96. 4．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙兩人下成和棋的概率為(　　) A．60% B．30% C．10% D．50% 解析：選D 甲不輸，包含兩個事件：甲獲勝，甲、乙和棋． ∴甲、乙和棋概率P＝90%－40%＝50%. 5．如果事件A與B是互斥事件，則(　　) A．A∪B是必然事件 B.與一定是互斥事件 C.與

19、一定不是互斥事件 D.∪是必然事件 解析：選D A、B可以都不發(fā)生，∴選項A錯，、可以同時發(fā)生，即A、B可以都不發(fā)生，∴選項B錯．當A與B是對立事件時與是互斥事件，∴選項C錯，因為A、B互斥，所以、中至少有一個發(fā)生，故選項D正確． 二、填空題 6．某戰(zhàn)士射擊一次中靶的概率為0.95，中靶環(huán)數(shù)大于5的概率為0.75，則中靶環(huán)數(shù)大于0且小于6的概率為________．(只考慮整數(shù)環(huán)數(shù)) 解析：因為某戰(zhàn)士射擊一次“中靶的環(huán)數(shù)大于5”事件A與“中靶的環(huán)數(shù)大于0且小于6”事件B是互斥事件，故P(A＋B)＝0.95. ∴P(A)＋P(B)＝0.95，∴P(B)＝0.95－0.75＝0.2.

20、 答案：0.2 7．盒中有大小、形狀相同的黑球、白球和黃球，從中摸出一個球，摸出黑球的概率為0.42，摸出黃球的概率為0.18，則摸出白球的概率為________，摸出的球不是黃球的概率為________，摸出的球是黃球或黑球的概率為________． 解析：P{摸出白球}＝1－0.42－0.18＝0.4. P{摸出的球不是黃球}＝1－0.18＝0.82. P{摸出的球是黃球或黑球}＝0.42＋0.18＝0.6. 答案：0.4　0.82　0.6 8．事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且P(A)＝2P(B)，則P()＝________. 解析：由題意知P(A＋B)＝1－，即P

21、(A)＋P(B)＝.又P(A)＝2P(B)，聯(lián)立方程組解得P(A)＝，P(B)＝，故P()＝1－P(A)＝. 答案： 三、解答題 9．某醫(yī)院一天內(nèi)派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下： 醫(yī)生人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及其以上 概　率 0.18 0.25 0.36 0.1 0.1 0.01 (1)求派出至多2名醫(yī)生的概率； (2)求派出至少3名醫(yī)生的概率． 解：記派出醫(yī)生的人數(shù)為0,1,2,3,4,5及其以上分別為事件A0，A1，A2，A3，A4，A5，顯然它們彼此互斥． (1)至多2名醫(yī)生的概率為P(A0＋A1＋A2)＝P(A0)＋

22、P(A1)＋P(A2)＝0.18＋0.25＋0.36＝0.79. (2)法一：至少3名醫(yī)生的概率為 P(C)＝P(A3＋A4＋A5) ＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5) ＝0.1＋0.1＋0.01＝0.21. 法二：“至少3名醫(yī)生”的反面是“至多2名醫(yī)生”，故派出至少3名醫(yī)生的概率為 1－P(A0＋A1＋A2)＝1－0.79＝0.21. 10．在數(shù)學考試中(滿分100分)，小明的成績在90分以上(包括90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09. (1)求小明在數(shù)學考試中成績在80分以上(包括80分)

23、的概率； (2)求小明考試不及格(低于60分)的概率． 解：分別記小明的考試成績“在90分以上(包括90分)”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”為事件B，C，D，E.由題意知，這4個事件彼此互斥． (1)小明的考試成績在80分以上(包括80分)的概率為 P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69. (2)小明考試及格的概率，即成績在60分以上(包括60分)的概率為P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 而小明考試不及格與小明考試及格為對立事件，所以小明考試不及格(低于60分)的概率為1－P(B＋C＋D＋E)＝1－0.93＝0.07.