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1、xyo)(xfy ab1 2 Cxoy)(xfy ABab1 2 CDxoy )()(tfYtFX)(1 F)(2 F)(aFA)(bFBCDRolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理型型型型及及 00),1,0,0(00型型 xyoab最大值最大值最小值最小值極大值極大值極小值極小值拐點(diǎn)拐點(diǎn)凹的凹的凸的凸的單增單增單減單減)(xfy 單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性的判別法單調(diào)性的判別法xyo)( xfy abAB0)( xf單單調(diào)調(diào)增增加加xyo)(xfy 0)( xfabBA單單調(diào)調(diào)減減少少單調(diào)區(qū)間的求法單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)極值函數(shù)極值函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義函數(shù)
2、極值的求法函數(shù)極值的求法oxy0 xoxy0 xxyoxyo0 x0 x xyoxyo0 x0 x 函數(shù)最值函數(shù)最值最值存在判別法最值存在判別法oxyoxybaoxyabab函數(shù)最值的求法函數(shù)最值的求法曲線凹凸性曲線凹凸性曲線凹凸的定義曲線凹凸的定義曲線凹凸的判定曲線凹凸的判定曲線的拐點(diǎn)及其求法曲線的拐點(diǎn)及其求法xyo)( xfy 1x2xxyo1x2x)( xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)( xf 0 yxyo)(xfy abBA遞遞減減)(xf 0 y0)(0 xfxyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf型型型型及及 00),1 ,0,0(00型型 1212(
3、)().()22f xf xxxf 證明多項(xiàng)式證明多項(xiàng)式 在在 上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)上不可能有兩個(gè)零點(diǎn). .3( )3f xxxa 0,122( )333(1)0f 分析分析: :反證法反證法 12()0;()0f xf x1201xx12()()f xf x 由羅爾定理由羅爾定理1201xx ( )0f 1 矛盾矛盾1201xx 設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn) 設(shè)設(shè) ,證明多項(xiàng)式證明多項(xiàng)式 在在 內(nèi)至少有一個(gè)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn) 10021naaan 01( )nnf xaa xa x (0,1)10021naaan 01( )0nnfaaa分析分析: :,01 設(shè)想設(shè)想( )( )0Ff ,01
4、造輔助函數(shù)造輔助函數(shù)( )F x適合于中值定理適合于中值定理01( )( )nnFxf xaa xa x 2110( )21nnaaF xa xxxn (0)0,F (1)0F 設(shè)設(shè) 在在 上連續(xù)上連續(xù), ,在在 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且 , ,證明存在一證明存在一點(diǎn)點(diǎn) , ,使使 . .( )f x0, a(0, )a( )0f a (0, )a ( )( )0ff ( )( )0ff 分析分析: :設(shè)想設(shè)想( )( )( )0Fff造輔助函數(shù)造輔助函數(shù)( )F x適合于中值定理適合于中值定理( )( )( )Fxf xxfx( )( )F xxf x (0)0,( )0FF a0a 0a 證
5、明不等式證明不等式120,2xx 2211tgxxtgxx 分析分析: :2211tgxxtgxx 2121tgxtgxxx 120,2xx 21()()f xf x 21,xx 單調(diào)遞增性單調(diào)遞增性( )tgxf xx 單調(diào)遞增性單調(diào)遞增性222sec( )0 xxtgxxtgxfxxx 例例2,1.xyxx 求求函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間 極極值值 凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間 拐拐點(diǎn)點(diǎn) 漸漸近近線線并并作作函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形解解:)1(定義域定義域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函數(shù)奇函數(shù)y )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 x
6、xx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)得可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo),lim)3( yx;沒有水平漸近線沒有水平漸近線,lim01 yx又又,lim01 yx;1的的鉛鉛直直漸漸近近線線為為曲曲線線 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的的鉛鉛直直漸漸近近線線為為曲曲線線 yx xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )(limxyx 1lim2 xxx, 0 .的斜漸近線的斜漸近線為曲線為曲線直線直線yxy (4)(1),(3,0,3),xxxx 以以函函數(shù)數(shù)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)駐駐點(diǎn)點(diǎn)和和可可能能拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)為為分分點(diǎn)點(diǎn)xyoxy 1 1作圖作圖x)3,( ) 1 , 0() 1, 3( 3 ) 0 , 1( y y y 1 0 極大極大值值0拐點(diǎn)拐點(diǎn)00 x31y y y 極小值極小值0 )3, 1(), 3(
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