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1、xyo)(xfy ab1 2 Cxoy)(xfy ABab1 2 CDxoy )()(tfYtFX)(1 F)(2 F)(aFA)(bFBCDRolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理型型型型及及 00),1,0,0(00型型 xyoab最大值最大值最小值最小值極大值極大值極小值極小值拐點(diǎn)拐點(diǎn)凹的凹的凸的凸的單增單增單減單減)(xfy 單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性的判別法單調(diào)性的判別法xyo)( xfy abAB0)( xf單單調(diào)調(diào)增增加加xyo)(xfy 0)( xfabBA單單調(diào)調(diào)減減少少單調(diào)區(qū)間的求法單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)極值函數(shù)極值函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義函數(shù)
2、極值的求法函數(shù)極值的求法oxy0 xoxy0 xxyoxyo0 x0 x xyoxyo0 x0 x 函數(shù)最值函數(shù)最值最值存在判別法最值存在判別法oxyoxybaoxyabab函數(shù)最值的求法函數(shù)最值的求法曲線(xiàn)凹凸性曲線(xiàn)凹凸性曲線(xiàn)凹凸的定義曲線(xiàn)凹凸的定義曲線(xiàn)凹凸的判定曲線(xiàn)凹凸的判定曲線(xiàn)的拐點(diǎn)及其求法曲線(xiàn)的拐點(diǎn)及其求法xyo)( xfy 1x2xxyo1x2x)( xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)( xf 0 yxyo)(xfy abBA遞遞減減)(xf 0 y0)(0 xfxyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf型型型型及及 00),1 ,0,0(00型型 1212(
3、)().()22f xf xxxf 證明多項(xiàng)式證明多項(xiàng)式 在在 上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)上不可能有兩個(gè)零點(diǎn). .3( )3f xxxa 0,122( )333(1)0f 分析分析: :反證法反證法 12()0;()0f xf x1201xx12()()f xf x 由羅爾定理由羅爾定理1201xx ( )0f 1 矛盾矛盾1201xx 設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn) 設(shè)設(shè) ,證明多項(xiàng)式證明多項(xiàng)式 在在 內(nèi)至少有一個(gè)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn) 10021naaan 01( )nnf xaa xa x (0,1)10021naaan 01( )0nnfaaa分析分析: :,01 設(shè)想設(shè)想( )( )0Ff ,01
4、造輔助函數(shù)造輔助函數(shù)( )F x適合于中值定理適合于中值定理01( )( )nnFxf xaa xa x 2110( )21nnaaF xa xxxn (0)0,F (1)0F 設(shè)設(shè) 在在 上連續(xù)上連續(xù), ,在在 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且 , ,證明存在一證明存在一點(diǎn)點(diǎn) , ,使使 . .( )f x0, a(0, )a( )0f a (0, )a ( )( )0ff ( )( )0ff 分析分析: :設(shè)想設(shè)想( )( )( )0Fff造輔助函數(shù)造輔助函數(shù)( )F x適合于中值定理適合于中值定理( )( )( )Fxf xxfx( )( )F xxf x (0)0,( )0FF a0a 0a 證
5、明不等式證明不等式120,2xx 2211tgxxtgxx 分析分析: :2211tgxxtgxx 2121tgxtgxxx 120,2xx 21()()f xf x 21,xx 單調(diào)遞增性單調(diào)遞增性( )tgxf xx 單調(diào)遞增性單調(diào)遞增性222sec( )0 xxtgxxtgxfxxx 例例2,1.xyxx 求求函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間 極極值值 凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間 拐拐點(diǎn)點(diǎn) 漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)并并作作函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形解解:)1(定義域定義域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函數(shù)奇函數(shù)y )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 x
6、xx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)得可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo),lim)3( yx;沒(méi)有水平漸近線(xiàn)沒(méi)有水平漸近線(xiàn),lim01 yx又又,lim01 yx;1的的鉛鉛直直漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)為為曲曲線(xiàn)線(xiàn) yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的的鉛鉛直直漸漸近近線(xiàn)線(xiàn)為為曲曲線(xiàn)線(xiàn) yx xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )(limxyx 1lim2 xxx, 0 .的斜漸近線(xiàn)的斜漸近線(xiàn)為曲線(xiàn)為曲線(xiàn)直線(xiàn)直線(xiàn)yxy (4)(1),(3,0,3),xxxx 以以函函數(shù)數(shù)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)駐駐點(diǎn)點(diǎn)和和可可能能拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)為為分分點(diǎn)點(diǎn)xyoxy 1 1作圖作圖x)3,( ) 1 , 0() 1, 3( 3 ) 0 , 1( y y y 1 0 極大極大值值0拐點(diǎn)拐點(diǎn)00 x31y y y 極小值極小值0 )3, 1(), 3(
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