2011年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三節(jié)定積分與微積分基本定理 理 課下作業(yè) 新人教版

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1、第十三節(jié) 定積分與微積分基本定理（理） 題組一 定積分的計(jì)算 1.已知f(x)為偶函數(shù)且f(x)dx＝8，則f(x)dx等于 (　　) A．0 B．4 C．8 D．16 解析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx， ∵原函數(shù)為偶函數(shù)， ∴在y軸兩側(cè)的圖象對(duì)稱， ∴對(duì)應(yīng)的面積相等，即8×2＝16. 答案：D 2．設(shè)f(x)＝則f(x)dx等于 (　　) A. B. C. D．不存在

2、 解析：數(shù)形結(jié)合， f(x)dx=x2dx+(2-x)dx = =. 答案：C 3．計(jì)算以下定積分： (1) (2x2－)dx； (2)(＋)2dx； (3)(sinx－sin2x)dx； 解：(1) (2x2－)dx＝(x3－lnx) ＝－ln 2－＝－ln 2. (2)(＋)2dx＝(x＋＋2)dx ＝(x2＋lnx＋2x) ＝(＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4) ＝ln＋. (3) (sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋cos2x) ＝(－－)－(－1＋)＝－. 題組二 求曲多邊形的面積 4．如圖，函數(shù)y＝－x2＋2x＋1與y

3、＝1相交形成一個(gè)閉合 圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是 (　　) A．1 B. C. D．2 解析：函數(shù)y＝－x2＋2x＋1與y＝1的兩個(gè)交點(diǎn)為(0,1)和(2,1)，所以閉合圖形的面積等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝. 答案：B 5．已知函數(shù)y＝x2與y＝kx(k＞0)的圖象所圍成的陰影部分 (如圖所示)的面積為，則k＝________. 解析：直線方程與拋物線方程聯(lián)立先求出積分區(qū)間為[0，k]， 再由(kx－x2)dx＝(－)＝＝求得k＝2. 答案：2 6．如圖，設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)沿曲線y＝x2

4、向點(diǎn)A(2,4)移動(dòng)， 記直線OP、曲線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積 分別記為S1，S2，若S1＝S2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：設(shè)直線OP的方程為y＝kx, P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)， 則(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx， 即(kx2－x3)＝(x3－kx2)， 解得kx2－x3＝－2k－(x3－kx2)， 解得k＝，即直線OP的方程為y＝x，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)． 答案：(，) 題組三 定積分在物理中的應(yīng)用 7.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)速度與時(shí)間的關(guān)系為v(t)＝t2－t＋2，質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，則此物體在時(shí)間[1,2]內(nèi)的位移為

5、 (　　) A.　　　　　B. C. D. 解析：s＝(t2－t＋2)dt＝(t3－t2＋2t)|＝. 答案：A 8．若1 N的力能使彈簧伸長(zhǎng)1 cm，現(xiàn)在要使彈簧伸長(zhǎng)10 cm，則需要花費(fèi)的功為(　　) A．0.05 J B．0.5 J C．0.25 J D．1 J 解析：設(shè)力F＝kx(k是比例系數(shù))，當(dāng)F＝1 N時(shí)，x＝0.01 m，可解得k＝100 N/m，則F＝100x，所以W＝100xdx＝50x2＝0.5 J. 答案：B 9

6、．一輛汽車的速度—時(shí)間曲線如圖所示，則該汽車在這一分鐘內(nèi)行駛的路程為_(kāi)______米． 解析：據(jù)題意，v與t的函數(shù)關(guān)系式如下： v＝v(t)＝ 所以該汽車在這一分鐘內(nèi)所行駛的路程為 s＝＝＋＋ ＝t2＋(50t－t2)＋10t ＝900米． 答案：900 題組四 定積分的綜合應(yīng)用 10.(2010·煙臺(tái)模擬)若y＝(sint＋costsint)dt，則y的最大值是 (　　) A．1　 B．2 C．－ D．0 解析：y＝(sint＋costsint)dt＝(sint＋sin2t)dt ＝(－

7、cost－cos2t)＝－cosx－cos2x＋ ＝－cosx－(2cos2x－1)＋＝－cos2x－cosx＋ ＝－(cosx＋1)2＋2≤2. 答案：B 11．(2010·溫州模擬)若f(x)是一次函數(shù)，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么dx的值是________． 解析：∵f(x)是一次函數(shù)，∴設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，由(ax＋b)dx＝5得(ax2＋bx)＝a＋b＝5， ① 由xf(x)dx＝得 (ax2＋bx)dx＝，即 (ax3＋b

8、x2) ＝，∴a＋b＝， ② 解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3， 于是dx＝dx＝ (4＋)dx ＝(4x＋3lnx)＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2. 答案：4＋3ln2 12．設(shè)f(x)＝|x2－a2|dx. (1)當(dāng)0≤a≤1與a＞1時(shí)，分別求f(a)； (2)當(dāng)a≥0時(shí)，求f(a)的最小值． 解：(1)0≤a≤1時(shí)， f(a)＝|x2－a2|dx ＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx ＝(a2x－x3)＋(－a2x) ＝a3－a3－0＋0＋－a2－＋a3 ＝a3－a2＋. 當(dāng)a＞1時(shí)， f(a)＝(a2－x2)dx ＝(a2x－x3) ＝a2－. ∴f(a)＝ (2)當(dāng)a＞1時(shí)，由于a2－在[1，＋∞)上是增函數(shù)，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－＝. 當(dāng)a∈[0,1]時(shí)，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)， 由f′(a)＞0知：a＞或a＜0， 故在[0，]上遞減，在[，1]上遞增． 因此在[0,1]上，f(a)的最小值為f()＝. 綜上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值為.