第二十五講選 擇 題 的 解 法

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1、第二十五講 選 擇 題 的 解 法 一、題型特點: 1.高考數(shù)學試題中,選擇題注重多個知識點的小型綜合,滲透各種數(shù)學思想和方法,體現(xiàn)以考查“三基”為重點的導向,能否在選擇題上獲取高分,對高考數(shù)學成績影響重大.解答選擇題的基本要求是四個字——準確、迅速. 2.選擇題主要考查基礎知識的理解、基本技能的熟練、基本計算的準確、基本方法的運用、考慮問題的嚴謹、解題速度的快捷等方面. 解答選擇題的基本策略是:要充分利用題設和選擇支兩方面提供的信息作出判斷。一般說來,能定性判斷的,就不再使用復雜的定量計算;能使用特殊值判斷的,就不必采用常規(guī)解法;能使用間接法解的,就不必采用直接解;對于明

2、顯可以否定的選擇應及早排除,以縮小選擇的范圍;對于具有多種解題思路的,宜選最簡解法等。解題時應仔細審題、深入分析、正確推演、謹防疏漏;初選后認真檢驗,確保準確。 3.解數(shù)學選擇題的常用方法,主要分直接法和間接法兩大類.直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法;但高考的題量較大,如果所有選擇題都用直接法解答,不但時間不允許,甚至有些題目根本無法解答.因此,我們還要掌握一些特殊的解答選擇題的方法. 二、例題解析 1.直接求解法 涉及數(shù)學定義、定理、法則、公式的應用的問題,常通過直接演算得出結(jié)果,與選擇支進行比照,作出選擇,稱之直接求解法. 例1、 圓x2+2x+y2+4y-3=0上

3、到直線x+y+1=0的距離為的點共有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解 :本題的關鍵是確定已知直線與圓的相對位置,這就需對圓心到直線的距離作定量分析.將圓的方程化為(x+1)2+(y+2)2=(2)2,∴ r=2.∵ 圓心(-1,-2)到直線x+y+1=0的距離d==,恰為半徑的一半.故選C. 例2、設F1、F2為雙曲線-y2=1的兩個焦點,點P在雙曲線上滿足∠F1PF2=90o,則△F1PF2的面積是( ) A.1 B./2

4、 C.2 D. 解 ∵ |PF1|-|PF2|=±2a=±4,∴ |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16, ∵ ∠F1PF2=90o,∴ =|PF1|·|PF2|=(|PF1|2+|PF2|2-16). 又∵ |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20.∴ =1,選A. 例3、 橢圓mx2+ny2=1與直線x+y=1交于A、B兩點,過AB中點M與原點的直線斜率為,則的值為( ) A. B. C.1 D. 分析:命題:“若斜率為k(k≠0

5、)的直線與橢圓+=1(或雙曲線-=1)相交于A、B的中點,則k·kOM=-(或k·kOM=),”(證明留給讀者)在處理有關圓錐曲線的中點弦問題中有著廣泛的應用.運用這一結(jié)論,不難得到: 解 ∵ kAB·kOM=-=-=-,∴ =-kAB·kOM=1·=,故選A. 2.直接判斷法 涉及有關數(shù)學概念的判斷題,需依據(jù)對概念的全面、正確、深刻的理解而作出判斷和選擇. 例1、甲:“一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面”,乙:“兩個二面角相等或互補.”則甲是乙的( ) A.充分而非必要條件 B.必要而非充分條件 C.充

6、要條件 D.既非充分又非要條件 分析 顯然“乙T甲”不成立,因而本題關鍵是判斷 “甲T乙”是否成立?由反例:正方體中,二面角A1-AB -C與B1-DD1-A滿足條件甲(圖31-1),但它們的度數(shù) 分別為90o和45o,并不滿足乙,故應選D. 例2、下列四個函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是( )     A.f(x)=x+lg B.f(x)=(x-1) C.f(x)= D.f(x)= 解 由于選擇支B給出的函數(shù)的定義域為[-1,1],該定義區(qū)

7、間關于原點不對稱,故選B. 3、特殊化法(即特例判斷法) 例1.如右下圖,定圓半徑為a,圓心為 ( b ,c ), 則直線ax+by+c=0 與直線 x–y+1=0的交點在( B ) A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 提示:取滿足題設的特殊值a=2,b=–3,c=1 解方程 得 于是排除A、C、D,故應選B 例2.函數(shù)f(x)=Msin() ()在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),且f(a)=–M, f(b)=M,則函數(shù)g(x)=Mcos()在[a,b]上( C ) A.是增函數(shù)

8、 B.是減函數(shù) C.可以取得最大值M D.可以取得最小值–M 解:取特殊值。令=0,,則 因,則,這時, 顯然應選C 例3.已知等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和為( C ) A.130 B.170 C.210 D.260 解:特殊化法。令m=1,則a1=S1=30,又a1+a2=S2=100 ∴a2=70, ∴等差數(shù)列的公差d=a2–a1=40,于是a3=a2+d=110, 故應選C 例4.已知實數(shù)a,b均不為零,,且,則等于( B ) A. B.

9、 C.– D.– 提示:特殊化法。取,則 故應選B 4、排除法(篩選法) 例1.設函數(shù),若f(x0)>1,則x0的取值范圍是( D ) A.(–1,1) B.(–1,+) C.(–,–2)(0,+) D.(–,–1)(1,+) 例2.已知是第三象限角,|cos|=m,且,則等于( D ) A. B.– C. D.– 例3.已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(p–2)x+p,若f(x)在區(qū)間[0,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使f( c)>0, 則實數(shù)p的取值范圍是( C ) A.(1,4) B.(1

10、,+) C.(0,+) D.(0,1) 點評:排除法,是從選擇支入手,根據(jù)題設條件與各選擇支的關系,逐個淘汰與題設矛盾的選擇支,從而篩選出正確答案。 5、數(shù)形結(jié)合法(圖象法) 根據(jù)題目特點,畫出圖象,得出結(jié)論。 例1.對于任意x∈R,函數(shù)f(x)表示–x+3,,x2–4x+3中的較大者,則f(x)的最小值是( A ) A.2 B.3 C.8 D.–1 例2.已知向量,向量,向量,則向量與向量的夾角的取值范圍是( D ) A.[0,] B.[,] C.[,] D.[,] 例3.已知

11、方程|x–2n|=k(n∈N*)在區(qū)間[2n–1,2n+1]上有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍是( B ) A.k>0 B.0

12、存在一個實數(shù)c,使,則實數(shù)p的取值范圍是( C ) A.(1,4) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(0,1) 解:取p=1代入檢驗。 例3.(2004廣東)變量x,y滿足下列條件: 則使得z=3x+2y的值的最小的(x,y)是( B ) A.(4.5,3) B.(3,6) C.(9,2) D.(6,4) 解:一一代入檢驗。代入運算后比較大小。 7、推理分析法 通過對四個選擇支之間的邏輯關系的分析,達到否定謬誤支,肯定正確支的方法,稱之為邏輯分析法,例如:若“(A)真 T (B)真”,則(A)必假,否則將與“只有一

13、個選擇支正確”的前提相矛盾. 例1 當x?[-4,0]時,a+≤x+1恒成立,則a的一個可能值是( ) A.5 B. C.- D.-5 解 ∵ ≥0, ∴ (A)真T(B)真T(C)真T(D)真, ∴ (D)真. 例3、已知sinq =,cosq =(<q <p),則tg=( ). A. B.|| C. D.5 解 因受條件sin2q +cos2q =1的制約,故m為一確定值,于是sinq 、cosq 的值應與m無關,進而推知

14、tg的值與m無關,∵ <q <p, ∴ ?(,),∴ tg>1,故選(D). 注:直接運用半角公式求tg,將會錯選(A).若直接計算,由()2+()2=1,可得m=0或m=8,∵ <q <p, ∴ sinq >0,cosq <0,故應舍去m=0,取m=8,得sinq =,cosq =,再由半角公式求出tg==5,也不如上述解法簡捷. 三、練習 1已知點P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,則在內(nèi)α的取值范圍為( B ) A B C D 2一個直角三角形的三內(nèi)角成等比數(shù)列,則其最小內(nèi)角為( B ) A B C D

15、3若,則( B ) A B C D 4函數(shù)的反函數(shù)為( B ) A B C D 5已知函數(shù)在[0,1]上是x的減函數(shù),則a的取值范圍為( B ) A (0,1) B (1,2) C (0,2) D 6.(07天津)設均為正數(shù),且,,.則( A?。? A. B. C. D. 7設f(x)是定義在實數(shù)集R上的任意一個增函數(shù),且F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x)應為( A ) A 增函數(shù)且是奇函數(shù) B增函數(shù)且是偶函數(shù) C 減函

16、數(shù)且是奇函數(shù) D減函數(shù)且是偶函數(shù) 解: 取f(x)=x,知F(x)=x-(-x)=2x,故選A。 8定義在上的奇函數(shù)為增函數(shù),偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合,設,給出下列不等式: 1)f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 2) f(b)-f(-a)g(b)-g(-a) 4) f(a)-f(-b)

17、 C D 10將直線3x-y+2=0繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900,得到的直線方程為( A ) A x+3y+2=0 B x+3y-2=0 C x-3y+2=0 D x-3y-2=0 11已知集合A=,B=,C的則A、B、C的關系是( C ). A. B. C. D. 12集合{,1},{,1,2},其中{1,2,…,9}且,把滿足上述條件的一對有序整數(shù)()作為一個點,這樣的點的個數(shù)是(B) (A)9 (B)14 (C

18、)15 (D)21 13已知函數(shù),,,R,且,,,則 的值(B) (A)一定大于零 (B)一定小于零 (C)等于零 (D)正負都有可能 14已知1是與的等比中項,又是與的等差中項,則的值是 (D) (A)1或 (B)1或 (C)1或 (D)1或 15平面直角坐標系中,為坐標原點,已知兩點(2,-1),(-1,3),若點滿足其中0≤≤1,且,則點的軌跡方程為(C) (A) (B)

19、 (C)(-1≤≤2) (D)(-1≤≤2) 16.已知定義域為的函數(shù)在上為減函數(shù),且函數(shù)為偶函數(shù),則( D ) A. B. C. D. 17下列各圖是正方體或正四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,這四個點中不共面的一個圖是(D) (A) (B) (C) (D) 18如圖所示,單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB 所圍成的弓形面積的2倍,則

20、函數(shù)y=f(x)的圖象是 ( D )             19為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文對應密文例如,明文對應密文當接收方收到密文時,則解密得到的明文為(B) (A)   ?。˙)    (C)   ?。―) 20關于的方程,給出下列四個命題: ①存在實數(shù),使得方程恰有2個不同的實根; ②存在實數(shù),使得方程恰有4個不同的實根; ③存在實數(shù),使得方程恰有5個不同的實根; ④存在實

21、數(shù),使得方程恰有8個不同的實根. 其中假命題的個數(shù)是 (A) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 21設是二次函數(shù),若的值域是,則的值域是( C ) A. B. C. D. 22如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值,則( D ) A.和都是銳角三角形 B.和都是鈍角三角形 C.是鈍角三角形,是銳角三角形 D.是銳角三角形,是鈍角三角形 23已知非零向量與滿足且則為(A) (A)等邊三角形        ?。˙)直角三角形

22、 (C)等腰非等邊三角形      (D)三邊均不相等的三角形 24已知雙曲線的左、右焦點分別為,,是準線上一點,且,,則雙曲線的離心率是( B ) A. B. C. D. O M(,) 25如圖,平面中兩條直線和相交于點O,對于平面上任意一點M,若、分別是M到直線和的距離,則稱有序非負實數(shù)對(,)是點M的“距離坐標”.已知常數(shù)≥0,≥0,給出下列命題: ①若==0,則“距離坐標”為(0,0)的點 有且僅有1個; ②若=0,且+≠0,則“距離坐標”為 (,)的點有且僅有2個; ③若≠0,則“距離坐標”為(,)的點有且僅有4個. 上述命題中,正確命題的個數(shù)是( D ) (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 26(06江西)對于R上可導的任意函數(shù)f(x),若滿足(x-1)30,則必有( C ) A. f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2)£2f(1) C. f(0)+f(2)32f(1) D. f(0)+f(2)>2f(1)

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